TOÁN HỌC TRỪU TƯỢNG
VÀ
TOÁN HỌC CỤ THỂ
(1830)

Tác giả: Auguste Comte*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa 

* 

Auguste Comte, người định nghĩa mục đích của Toán học là nhằm «xác định các đại lượng chưa biết bằng những quan hệ hiện có giữa chúng với các đại lượng đã biết» phân biệt hai phần của Toán học: một phần trừu tượng và là công cụ thuần túy, trong khi phần cụ thể kia thực sự là khoa học tự nhiên.

*

Trong tình trạng phát triển những tri thức thực chứng của chúng ta hiện nay, tôi tin rằng, kể từ thời Descartes và Newton, ta cần phải nhìn toán học như nền tảng thực sự của toàn bộ triết lý tự nhiên, chứ không chỉ như một bộ phận cấu thành của triết lý tự nhiên nữa, mặc dù nó là cả hai cùng một lúc, để nói một cách chính xác. Thực tế là, ngày nay, toán học có tầm quan trọng như công cụ mạnh mẽ nhất mà trí óc con người có thể sử dụng trong việc khám phá ra các quy luật của những hiện tượng tự nhiên, hơn là bởi những tri ​​thức rất hiện thực và rất có giá trị đã trực tiếp tạo ra nội dung của nó.

Về mặt này, để trình bày một quan niệm hoàn toàn rõ ràng và chính xác, (…) ta cần phải chia khoa toán học thành hai ngành khoa học lớn, với đặc điểm chủ yếu là sự tách biệt: một mặt, toán học trừu tượng hay phần phép tính^[1], hiểu với ngoại diên rộng nhất của từ; và mặt kia, toán học cụ thể, bao gồm vừa hình học tổng quát, vừa cơ học thuần lý. Phần cụ thể nhất thiết phải dựa trên phần trừu tượng, và đến lượt nó trở thành cơ sở trực tiếp của toàn bộ triết học tự nhiên, khi ta xem mọi hiện tượng trong vũ trụ, trong chừng mực có thể^[2], như đều là hoặc hình học hoặc cơ học.

Phần trừu tượng là phần duy nhất mang tính công cụ, bởi nó không là gì khác hơn là một sự mở rộng lớn lao, đáng ngưỡng mộ của lô-gic tự nhiên tới một trình tự suy diễn nhất định^[3].  Trái lại, hình học và cơ học phải được coi là các khoa học tự nhiên thực sự, và giống như mọi khoa học tự nhiên khác, được đặt trên sự quan sát, mặc dù do sự đơn giản cực độ của loại hiện tượng mà chúng xử lý, hình học và cơ học hàm chứa một mức độ hệ thống hóa vô cùng hoàn hảo hơn, khiến cho tính kinh nghiệm của các nguyên lý đầu tiên của chúng không dễ được nhận biết. Nhưng cả hai khoa học vật lý này đều cùng có một điểm đặc biệt là, trong tình huống hiện nay của trí tuệ con người, chúng đã và sẽ còn luôn luôn được sử dụng như phương pháp hơn là lý thuyết trực tiếp.

Auguste Comte,
Giáo Trình Triết Học Thực Chứng
 (Cours de Philosophie positive, 1830,
Bài học thứ 2).

^[1] Theo Comte, phần này bao gồm số học hay phép tính về những giá trị, và đại số học hay phép tính về các hàm số.   

^[2] Đây chính là quan điểm duy cơ học (mécanisme) của Descartes. Tuy nhiên, như ta thấy ở đây, Comte cũng tỏ vẻ dè dặt khi nói «trong chừng mực có thể», bởi vì theo ông, sự rút gọn cái «cao hơn» (phức tạp hơn) xuống cái  «thấp hơn» không luôn luôn hoàn toàn là khả thi.

^[3] Về vấn đề này, xem thêm trên trang mục Lô-gic học: Jean Piaget, Toán Học Và Lô-gic Học.