LÀM THẾ NÀO XÂY DỰNG LẠI
MỘT TIỀN SỬ CỦA TOÁN HỌC?
(1893)

Tác giả: Hieronymus Georg Zeuthen^[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Trong một khóa học sử, câu hỏi này luôn luôn được đặt ra: phải bắt đầu từ đâu?

Chúng ta có thể bắt đầu từ thời điểm có được những dữ liệu thực hiệu, đáng tin cậy, có thể dẫn tức khắc đến một tri ​​thức thực chứng và chắc chắn: lúc đó công việc của sử gia là thiết lập một cách thật chính xác những công đoạn tiếp theo.

Chúng ta cũng có thể bắt đầu từ thời tiền sử, một khởi đầu lúc đó phải được suy ra từ không biết cơ man nào là thông tin và sự kiện hết sức tạp nhạp, mà nếu rút ra từng cái riêng lẻ, sẽ không thể có giá trị như một nguồn sử liệu đích thực. Trong trường hợp này, những dữ liệu gần gũi nhất với Lịch sử đúng như tên gọi, là các truyền thống và truyền thuyết về những phong tục, tập quán và biến cố được truyền tải bởi những tài liệu lâu đời nhất, và liên quan tới các thời đại còn xa xưa hơn nữa. Việc giải thích các truyền thuyết này phải dựa trên sự phát hiện ra những vật thể đã được sản xuất và sử dụng ở những thời điểm xa xôi ấy, những phát hiện mà ý nghĩa chỉ được làm sáng tỏ bằng cách so sánh, định vị loại  vật thể này trong thời gian và không gian, để chính chúng sẽ góp phần làm sáng tỏ ngược lại những quan hệ từng tồn tại giữa những nơi chúng đã được tạo ra, đồng thời xác định sự tiếp nối của các chủng tộc đã sử dụng chúng trong thời gian. Và, những gì ta có thể nói, theo nhiều quan điểm khác nhau, về những vật thể đã được cứu giữ từ quá khứ này, thì ta cũng có thể nói về những ngôn từ mà chúng ta đã bắt gặp trong các sinh ngữ hoặc cổ ngữ khác nhau được biết, và nhờ vậy có thể xác định được tuổi tác của chúng: loại ngôn từ này xác nhận nội dung của các ý niệm tương ứng với những ý tưởng thời xưa [...]

Như vậy, chúng ta có thể thấy những sử gia và nhà khảo cổ học chuyên nghiệp, các nhà tự nhiên học và ngữ văn học đã phân loại – hoặc những phát hiện đầu tiên của họ, hoặc những từ vựng họ bắt gặp – theo niên đại của chúng, và những quan hệ giữa chúng với nhau. Tóm lại, mọi nhà giáo dục, tâm lý, dân tộc học, hay lý thuyết gia về nhận thức,… tất cả đều phải đóng góp phần của mình vào việc nghiên cứu tiền sử. Và nếu nó liên quan đến một chuyên ngành nào, thì chính chuyên gia của ngành ấy phải tự mình thiết lập cái quan hệ mật thiết giữa những sự kiện được cung cấp cho ông ta một cách hết sức hỗn độn ấy. [...]

Toán học cũng có tiền sử của nó, và không phải là cái ít quan trọng nhất. (...)

Để đưa thời tiền sử của toán học ra ánh sáng, cần phải truy tìm với các nhà ngữ văn, cái tuổi của những tên gọi các con số đơn giản nhất, các phương tiện đã được sử dụng trong nhiều ngôn ngữ khác nhau để diễn tả các tập hợp những con số được gộp lại thành chục (một chục, hai chục, v. v…) hoặc theo bất kỳ cách nào khác, miễn là nó có thể được dùng để phân định cách đo lường hoặc tính toán (các hệ nhị phân, lục phân, thập phân...); cần phải tìm trên các bản khắc và kiến trúc cổ, trước tiên là cách chỉ định các con số đơn giản (phần lớn và ở các thời kỳ xa xưa nhất, chúng chỉ là một vết gạch hoặc một ký hiệu cho đơn vị); sau đó là các ký hiệu ít đơn giản hơn cho các con số kép (có thể được biểu thị bằng sự lặp lại một ký hiệu cho mỗi đơn vị thập phân – như trong trường hợp của người La Mã); cần phải khám phá ra dấu vết đầu tiên của việc sử dụng các ký hiệu này, hoặc hơn nữa, các phương tiện cơ học để thực hiện những phép tính đơn giản – thậm chí còn có thể tìm thấy những ký hiệu thao tác cả trong chữ viết tượng hình của người xưa, như trong các tờ giấy cói Ai Cập, nơi tùy theo định hướng của nó, dấu chân chim chỉ ra một cách thật rõ ràng liệu một con số phải được thêm vào hay rút ra, nói tóm lại là đóng vai trò của các dấu + và – của chúng ta.

Về cách quan niệm không gian, hình vẽ đầu tiên mà chúng ta bắt gặp sẽ là bằng chứng cho thấy rằng người xưa đã thể hiện bằng các hình thù, trong đó có những cái nhỏ và những cái lớn, nghĩa là các hình thù giống như trong hiện thực; và cứ liệu này càng có tính thuyết phục hơn nữa, khi quy tắc phối cảnh không thể được biết vào thời điểm đó, nên kẻ bắt chước có xu hướng tìm cách đạt cho bằng được một sự giống như trong hiện thực, mặc dù thường chỉ rất ít khi thành công. [...]

Một nhà mồ Ai Cập cổ đại, còn trang trí dang dở, cho thấy cách thể hiện này dẫn đến việc đi tìm sự tương đồng một cách có phương pháp như thế nào. Thật vậy, ở đây chúng ta thấy rằng, để đưa một hình ảnh lên tường theo một tỷ lệ mới, người xưa chia bức tường này và cái hình mẫu kia thành nhiều hình vuông, bằng hai hệ thống đường song song, vì trong mỗi hình vuông của bức tường, người ta ghi lại cái gì nhìn thấy trong hình vuông của hình mẫu tương ứng. Thực ra, phương pháp này chỉ là sự áp dụng các tọa độ hình chữ nhật được biểu thị bằng số nguyên, lấy cạnh của hình vuông làm đơn vị, rồi sau đó xác định như điểm tương ứng các điểm mà hai tọa độ – một bên này, một bên kia – giữ với nhau một tỷ lệ nhất định. [...]

Tôi vừa cố gắng giải thích ở đây ta phải hiểu tiền sử của toán học là gì, và chỉ ra một số phương tiện qua đó ta có thể nghiên cứu nó.

Hieronymus G. Zeuthen,
Lịch Sử Toán Học Thời Cổ Đại Và Trung Đại. Dẫn nhập
(Histoire des mathématiques dans l’Antiquité
et le Moyen Âge,   Introduction.
Paris, Gauthier-Villars, 1902), tr. 1-5.

^[1] Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920) nhà toán học và sử gia toán học người Đan Mạch. Tác phẩm: Abriß einer elementar-geometrischen Kegelschnittlehre (1882); Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (1886, n.b 1885);  Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter (1896, n.b. 1893) = Histoire des Mathématiques dans l'Antiquité et le Moyen Age (1902); Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert (1903); Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter (1912); Lehrbuch der abzählenden Methoden der Geometrie (1914); Hvorledes Mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel Videnskab (1917).