TƯ TƯỞNG TOÁN HỌC
(1950)

Tác giả: Jean Piaget*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Khả năng xây dựng một khoa toán học có năng lực, vừa suy diễn  chặt chẽ, vừa thích nghi chính xác vào kinh nghiệm, đã là vấn đề trung tâm của triết lý khoa học từ lâu. Nhưng ngày nay bận tâm này chắc chắn còn trở nên khiêu khích hơn nữa từ quan điểm của nhận thức luận phát sinh^[1].

Thực vậy, một mặt các ngành toán học đều thích nghi một cách chi tiết nhất vào hiện thực vật lý. Cho dù các cấu trúc cũng như những quan hệ mà các nhà vật lý học khám phá ra trong thế giới vật chất là đa tạp và khác nhau đến đâu, họ chưa bao giờ tìm thấy một cấu trúc hoặc quan hệ nào mà lại không thể được diễn đạt chính xác bằng ngôn ngữ toán học, như thể là có một sự hài hòa nào đó đã được thiết lập từ trước, giữa mọi khía cạnh của vũ trụ vật lý với những khung trừu tượng của các môn hình học và giải tích. Còn hơn thế nữa: sự ăn khớp này không chỉ xuất hiện vào thời điểm một định luật vật lý vừa được khám phá ra, hay ngay sau đó, mà có vẻ như các sơ đồ toán học đã dự đoán, từ nhiều năm trước, những nội dung kinh nghiệm sẽ đến lồng vào chúng. Tất nhiên, các hình thức hình học và giải tích này có thể đã được thực hiện ngoài mọi quan tâm đến hiện thực. Thế nhưng, một khi chúng được kết hợp chặt chẽ bằng lô-gic diễn dịch, chúng ta không những chỉ chắc chắn rằng các thí nghiệm sẽ không bao giờ cho thấy chúng là sai, mà điểm nghịch lý là, dù sớm hay muộn, các thí nghiệm còn sẽ thỏa mãn chúng ít nhất một phần, hay sẽ thích ứng chính xác vào chúng. Ví dụ đẹp nhất về việc lồng hiện thực vào các khung đã được chuẩn bị bằng diễn dịch toán học này chắc chắn là trường hợp của hình học Riemann^[2]. Đây là một kết cấu tự do và táo bạo, được theo đuổi bên rìa của hình học cổ điển, thậm chí còn mâu thuẫn cả với định đề [thứ năm] nổi tiếng của Eukleidês^[3] nữa, mà dù không được chứng minh, chúng ta vẫn xem như đã bị bắt buộc phải chấp nhận bởi sự quan sát trực tiếp. Đây là một điển hình về sự sáng tạo tự do của lý trí toán học không bận tâm với hiện thực. Rốt cuộc, sau hơn nửa thế kỷ thách thức đối với hiện thực vật lý này, bây giờ chính vật lý học lại xem hình học của Riemann là thích hợp hơn hình học của Eukleidês để giải thích các hiện tượng trọng lực (gravifiques): thuyết tương đối chỉ sử dụng đơn thuần cái khung đã được chuẩn bị này chứ không thêm gì hết, nhưng sáng tạo thiên tài của Riemann đã được thí nghiệm xác lập. Một ví dụ khác trong cùng thời kỳ đổi mới của vật lý học: năm 1900, Ricci và Lévi-Civita^[4], do muốn rút dạng thức phương trình vi phân ra một cách độc lập với các hệ tọa độ, đã thiết lập «phép tính vi phân tuyệt đối (calcul différentiel absolu)»; thế rồi, cái sơ đồ vốn là công trình xa xỉ thuần túy của hai nhà toán học khát khao nghiêm ngặt này, vài năm sau bỗng trở thành công cụ thiết yếu để A. Einstein sử dụng, bởi vì nếu không có phép tính tenxơ (calcul tensoriel), thì thuyết tương đối sẽ bị tước mất kỹ thuật đặc thù của nó. Các «số ảo» (nombres imaginaires, chỉ riêng tên gọi cũng đủ để biểu thị «ý đồ của người lập quy tắc» về chúng!) là một ví dụ kinh điển khác về loại dự đoán tương tự: tuy phát sinh đơn giản từ sự khái quát hóa các phép toán số học, chúng vẫn đóng một vai trò ngày càng quan trọng hơn trong hình học, cơ học, lý thuyết về các biến phức (variables complexes), và do đó, trong toàn bộ môn giải tích, với vô số ứng dụng của nó. Cuối cùng, có thể dễ dàng tích lũy thêm các ví dụ trong lĩnh vực vật lý vi mô hiện tại, bởi vì nó sử dụng các sơ đồ toán học có sẵn đa dạng nhất, từ phép tính ma trận (calcul des matrices, nơi chúng ta tìm thấy vai trò của loại số ảo) cho đến các «không gian trừu tượng (espaces abstraits)», mà sự tiếp xúc với hiện thực kinh nghiệm có lẽ là một trong những nghịch lý lạ lùng nhất của nghiên cứu khoa học đương đại.

Như vậy, dù luôn luôn tương ứng với một số lĩnh vực của hiện thực vật lý, toán học liên tục vượt lên trên hiện thực này bởi những khái quát hóa của nó. Nhất là, từ một mức độ phát triển nhất định nào đấy, nó hoàn toàn không còn dựa trên chính kinh nghiệm nữa. Khi mới  bắt đầu, hẳn là đứa trẻ cần kiểm soát bằng kinh nghiệm để biết chắc chắn rằng 1 + 4 = 2 + 3, giống như người Ai Cập đã dùng sự đo đạc để phát hiện ra những đường nét của hình học Eukleidês. Nhưng từ trẻ em độ 11-12 tuổi, và từ người Hy Lạp cổ đại trong lịch sử, sự chặt chẽ của diễn dịch toán học đã vượt lên trên mọi xác nhận thực nghiệm. Kinh nghiệm có thể là cơ hội để đặt ra những vấn đề mới, và hẳn nó thực sự luôn luôn là như vậy, thậm chí đôi khi còn hướng dẫn nhà toán học vào các đường hướng mà lợi ích và hứng thú của ông không đưa ông ta vào ngay từ đầu. Nhưng nhà toán học không bao giờ viện dẫn kinh nghiệm theo cách của nhà vật lý, như một tiêu chí của sự thật. Một mệnh đề toán học là đúng trong chừng mức là nó đã được chứng minh một cách thuần túy lý tính, chứ không phải trong chừng mức là nó phù hợp với hiện thực bên ngoài: về điểm này, mọi người đều nhất trí.

Thế nhưng, sau đó liệu chúng ta sẽ giải thích sức mạnh bí ẩn của  các loại thao tác này như thế nào, khi chúng dường như được sinh ra từ những hành động liên quan đến các kinh nghiệm gần gũi nhất, nhưng thông qua cách chúng phối hợp với nhau, lại ngày càng rời xa hiện thực kinh nghiệm bằng một chuyển động tăng tốc liên tục, tới mức có thể trấn át nó, đoán trước nó, thậm chí cao ngạo làm lơ cả những xác nhận mà hiện thực cung cấp cho chúng trong các lĩnh vực hạn chế của cái hiện tại và cái hữu hạn? Thật vậy, một mặt, toán học sơ cấp có vẻ như xuất phát từ những hành động giữa bao hành động khác: dịch chuyển, tập hợp, phân ly, chất chồng, liên hệ… Trái lại, vương triều của toán học cao cấp là cả một thế giới của những biến đổi thao tác mà ở khắp nơi đều vượt ra ngoài ranh giới của kinh nghiệm hiện thực hoặc có thể được thực hiện thực sự. Do đó, ban đầu, thế giới hiện thực có vẻ như phong phú hơn nhiều so với những thao tác nảy sinh, trong khi xuyên suốt quá trình phát triển, các vị trí đều bị đảo ngược, và bây giờ thì các thao tác diễn dịch đều vượt lên trên những biến đổi thực sự có thể quan sát được.

Từ đó, sự phát triển của các thao tác toán học nêu lên hai vấn đề cơ bản. Đầu tiên là sự ăn khớp thường xuyên giữa các thao tác  diễn dịch với thực tế vật lý: các thao tác này là nguồn gốc của những hành động thành công, sự tương thích dường như không có gì bí ẩn cả (dù hiện tượng này cần được thảo luận kỹ hơn); nhưng cũng các thao tác tương tự cuối cùng đều trở thành những hành động biểu trưng, nội tâm và phong phú hơn cả những biến đổi thực nghiệm, thì làm sao chúng vẫn còn ăn khớp với những thử nghiệm này được? Do đó, vấn đề đầu tiên này bao hàm một vấn đề thứ hai: đó là sự mầu mỡ của lý luận toán học. Thực vậy, trong chừng mức mà thế giới của những kết cấu hình học và giải tích vượt qua thế giới hiện thực mà vẫn tương hợp với nó ở một phần chung, thì vấn đề phải tìm hiểu là, không chỉ có sự tương thích ấy, mà còn cả sự siêu vượt kia nữa. Từ quan điểm này, lý luận toán học xuất hiện như một loại sáng tạo (tất nhiên, trừ phi chúng ta thừa nhận các giải pháp khác, như của Platôn v. v.) nếu những nghiên cứu về sự phát triển [toán học] đều dẫn đến kết quả này. Bắt đầu từ một số tiên đề vừa ít ỏi vừa nghèo nàn về nội dung như có thể tưởng tượng được, và một số định nghĩa, nhà toán học đã xây dựng, bằng thao tác sáng tạo, cả cái vũ trụ mênh mông những quan hệ này của loại hữu thể gọi là trừu tượng^[5]. Do đó, lý luận toán học có vẻ mang tính xây dựng, cho dù cái mặt ngoài này hóa ra là chính xác hoặc sai lệch trong quá trình phân tích phát sinh: trong khi ở mọi lĩnh vực khoa học khác, sự diễn dịch thuần túy chỉ tạo ra những ảo tưởng, sự tiến bộ của tri thức giả định phải liên tục cầu viện tới quan sát và kinh nghiệm, thì ngược lại, sự diễn dịch toán học lại vô cùng hiệu quả. Làm sao giải thích chính sự sáng tạo này, cho dù nó là có thật về mặt lô-gic hay chỉ tương ứng với một ảo tưởng tâm lý?

Jean Piaget,
Dẫn Vào Nhận Thức Luận Phát Sinh
(Introduction à l'épistémologie génétique,
Paris, PUF, 1950
q. I, tr. 54-56 

^[1] «Đặc trưng của nhận thức luận phát sinh là nó tìm cách rút ra nguồn gốc của đủ loại tri thức khác nhau ngay từ các hình thức sơ đẳng nhất của chúng, rồi từ đấy lần theo những bước phát triển của các hình thức này lên các cấp bậc sau và cao hơn, trong đó bao gồm cả tư tưởng khoa học» (Jean Piaget, L’Épistémologie génétique, Paris, PUF, 1970, tr. 6).

^[2] Bernhard Riemann là nhà toán học người Đức, người đã có nhiều đóng góp quan trọng vào ngành giải tích toán học và hình học vi phân, xây dựng nền tảng cho việc phát triển lý thuyết tương đối sau này.

^[3] Trong quyển Cơ Sở (Elements) của Eukleidês, định đề thứ 5 và cuối cùng được viết như sau: «Trên cùng một mặt phẳng, nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước và tạo nên hai góc trong nằm cùng một phía với hai đường thẳng này, với tổng số hai góc là nhỏ hơn hai góc vuông [nhỏ hơn 180⁰], thì hai đường thẳng cho trước kia, nếu được kéo dài vô tận, sẽ có điểm giao nhau ở cùng một phía với hai góc có tổng số nhỏ hơn hai góc vuông ấy». So với bốn định đề trước, thì định đề thứ năm là vừa dài hơn cả, vừa không «hiển nhiên» bằng.

Về điểm thứ nhất, nhiều nhà toán học đã nỗ lực tìm cách đơn giản hóa nó, và đề xuất một số dạng tương đương. Hai dạng nổi tiếng nhất là: một của nhà toán học cổ đại Proklos* xứ Lykia (412-485), được viết như sau: «Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường song song, thì nó cũng cắt cả đường kia = If a straight line intersects one of two parallel lines, it will intersect the other also»; và một của nhà toán học xứ Scotland John Playfair* (1748-1819), được viết như sau: «Trong một mặt phẳng, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho = In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point».

Về điểm thứ hai, sau hơn hai nghìn năm tranh cãi, ngày nay các nhà toán học phân biệt: hình học Eukleidês (thứ hình học chấp nhận đủ cả năm định đề trong quyển Cơ Sở); hình học phi-Eukleidês (thứ hình học trong đó định đề thứ năm không áp dụng được); hình học tuyệt đối hay hình học trung tính (thứ hình học độc lập với định đề thứ năm, chỉ chấp nhận bốn định đề đầu hoặc các dạng tương đương).

^[4] Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) và Tullio Levi-Civita (1873-1941): hai nhà toán học người Ý, đồng tác giả của: «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications», Mathematische Annalen, t. 54, số 1–2,‎ 3-1900, tr. 125–201.

^[5] Xem thêm trên trang mục Triết Lý Khoa Học: Jacques Maritain, Hữu Thể Hiện Thực, Hữu Thể Lý Tính…