TRỰC QUAN
TRONG TOÁN HỌC
(1944) 

Tác giả: Georges Bouligand^[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Các chân lý toán học không hoàn toàn là những sáng tạo thuần túy ý tưởng; Émile Boutroux^[2] từng nói rằng tư tưởng toán học là «một sự thích nghi tự nguyện và thông minh của tư duy vào sự vật».

Trong trích đoạn dưới đây, Georges Bouligand cho rằng chúng ta có thể tìm thấy ở cơ sở, cũng như xuyên suốt quá trình phát triển của toán học, một số trực giác nhất định.

*

Các khía cạnh trực quan của Toán học được liên kết với những ấn tượng khác nhau của các giác quan mà chúng ta có, và với những ký ức về chúng. Điều quan trọng cho sự nảy nở của hoạt động tiền-toán-học là ký ức về những đối tượng, ở đó một tính chất chung có thể được cảm nhận, cho dù tính chất ấy chỉ được thực hiện một cách sơ sài. Hơn nữa, sự không hoàn hảo của các giác quan của ta đôi khi còn tạo ra ảo tưởng rằng tính chất ấy là biểu hiện trung thành của hiện thực. [...]

Có những trực giác được liên kết với ký ức về những sự vật cụ thể: đấy là trường hợp của những trực giác khơi dậy các ý niệm về tính liên tục, ý niệm đường thẳng, ý niệm đường thẳng góc với một mặt phẳng, cũng như một lượng lớn các ý niệm khác bắt  nguồn từ địa vật lý học chẳng hạn. Chúng ta có thể bao gồm chúng trong thuật từ: trực quan tức thời (intuition immédiate). [...]

Nhưng vai trò của trực giác tức thời không có tính loại trừ. Kể từ khi Khoa học Hy Lạp cho thấy đóng góp quyết định của nó, suốt trong quá trình pha trộn không ngừng diễn ra ở lĩnh vực tư tưởng này, một khi những ý niệm hoặc các tính chất nói trên đều đã trở nên khá quen thuộc, thì những liên kết ý tưởng khác nhau sẽ được khơi mào từ loại ký ức về những ý niệm đã được làm sáng tỏ, hoặc các tính chất đã được biện minh. Những liên kết mới này đôi khi được thực hiện một cách khá thất thường. Nhưng về tổng thể, chúng chịu ảnh hưởng của một khát vọng ít nhiều có ý thức, luôn luôn mỗi ngày một rõ nét hơn, hướng tới một sự chặt chẽ nào đó của nỗ lực khoa học. Dù sao, giống như nhà vật lý học có thể mở rộng phần quang phổ trông thấy được ​​của mình bằng một loạt bức xạ khác, thì sau khi đã tự giúp mình bằng những hình dạng được thể hiện cụ thể theo nghĩa chính xác của thuật từ này, nhà hình học cũng có thể tiến tới chỗ mở rộng phạm vi của chúng được. Mỗi ngày một quen thuộc hơn với những hữu thể^[3] yêu thích của mình, ông ta cũng thành công trong việc đồng hóa chúng, như đối với các vật thể của thế giới bên ngoài. Chính như vậy mà một loại trực giác, tinh tế hơn trực giác tức thời, đã thành hình để phát hiện ra, hoặc sự tương đương của những vấn đề lúc đầu là khác biệt, hoặc các loại đối tượng tuy khác nhau về bản chất nhưng vẫn làm phát sinh cùng một hệ thống những quan hệ.

Nhận thức được những khả năng thuộc loại này là đặc trưng của trực quan nối dài. Ở đây, chúng ta có thể trích dẫn một số chuỗi  nhất định các sơ đồ trực giác mà những cái đầu tiên liên quan tới mặt phẳng và không gian ba chiều, trong khi những cái sau liên quan tới các không gian cao cấp hơn nhưng cũng cùng một cách, chẳng hạn. Các trực quan tức thời ở hai mắt xích đầu [mặt phẳng và không gian ba chiều] được nối dài ở đây bằng một quá trình lặp lại mà sự hoạt động đã trở thành khả thi nhờ phương pháp số học hoá của Descartes^[4] – từng để lại dấu ấn sâu đậm trên sự phát triển của hình học.

Georges Bouligand
Những Khía Cạnh Trực Quan Của Toán Học,
(Les Aspects intuitifs de la mathématique,
Paris, Gallimard, 1944, tr. 13-16, passim).

^[1] Georges Louis Bouligand (1889-1979): nhà toán học người Pháp. Tác phẩm chính: Leçons de géométrie vectorielle préliminaires à l'étude de la théorie d'Einstein (1924); Précis de mécanique rationnelle à l'usage des élèves des facultés des sciences (1925); Introduction à la géométrie infinitésimale directe (1932); La causalité des théories mathématiques (1934); Les aspects intuitifs de la mathématique (1944); Le déclin des absolus mathématico-logiques (với Jean Desgranges, 1949).

^[2] Étienne Émile Boutroux (1845-1921): triết gia và sử gia triết học người Pháp. Tác phẩm chính: De la contingence des lois de la nature (1874);  La Grèce vaincue et les premiers stoïciens (1875); La Monadologie de Leibnitz (1881); Socrate, fondateur de la science morale (1883); Les Nouveaux Essais de Leibnitz (1886); Questions de morale et d'éducation (1895); De l'idée de loi naturelle dans la science et la philosophie contemporaines (1895); Études d'histoire de la philosophie (1897); Études d'histoire de la philosophie allemande (1897, 1926); Pascal (1900); Essais d’histoire de la philosophie (1901); La Philosophie de Fichte (1902); Science et religion dans la philosophie contemporaine (1908); William James (1911); La Nature et l'Esprit (1925); Morale et religion (1925); La Philosophie de Kant (1926); Des vérités éternelles chez Descartes (1927); Nouvelles études d'histoire de la philosophie (1927); Leçons sur Aristote (1990).

^[3] Xem thêm trên trang mục Triết Lý Các Khoa Học : Jacques Maritain, Hữu Thể Của Lý Trí.

^[4] Vào khoảng 1630, Pierre de Fermat và René Descartes đã cùng khám phá ra, một cách độc lập, lợi điểm dùng các con số trong hình học như tọa độ. Do Descartes là người đầu tiên viết ý tưởng này ra trong chi tiết (Géométrie, 1637), nên phương pháp tiếp cận hình học này sau được gọi là cartesian (cartésien, do cách viết tên cũ của Descartes là Des Cartes). Descartes nghĩ rằng hình học đúng là như Eukleidēs đã mô tả, và những con số chỉ hỗ trợ cho việc nghiên cứu các loại vật thể trong hình học. Nhưng với sự phát triển của các hình học «phi Eukleidēs» sau này, điều trở thành thiết yếu là phải xác định các «điểm», «đường thẳng», «độ dài», v.v… và chứng minh, với sự trợ giúp của ý tưởng tọa độ, rằng chúng thỏa mãn các tiên đề của Eukleidēs. Chương trình này được gọi là số học hoá hình học. Xem thêm các bài khác về cùng chủ đề trên cùng trang mục khi có thể tham khảo.