QUY NẠP TOÁN HỌC
(1909)

Tác giả: Henri Poincaré*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Trong trích đoạn dưới đây, Henri Poincaré đã đề cập chính xác tới một lý thuyết về suy luận toán học, theo đó, khi chúng ta nghiên cứu tư tưởng toán học «nơi nó vẫn còn là toán học thuần túy, nghĩa là trong số học», thì chúng ta sẽ thấy, «ở mỗi bước chân», một phương thức nhất quán, và đấy là một phép quy nạp thực sự.

*

Phương thức này là phép chứng minh truy hồi[^1] (démonstration par récurrence). Đầu tiên chúng ta thiết lập một định lý cho n = 1; sau đó ta chỉ ra rằng, nếu nó đúng với n - 1 thì nó đúng với n, và chúng ta kết luận rằng nó đúng với mọi số nguyên. [...] Chúng ta không thể giản lược quy tắc suy luận truy hồi này vào nguyên lý không mâu thuẫn (principe de non-contradiction). Quy tắc này cũng không thể đến từ kinh nghiệm; điều kinh nghiệm có thể dạy ta, đó là quy tắc đúng với mười hay với một trăm số đầu tiên; nó không thể vươn tới chuỗi số vô hạn, mà chỉ tới một phần dài ngắn nào đó, nhưng luôn luôn có giới hạn, của chuỗi số này.

Thế nhưng, nếu chỉ có vậy, thì nguyên lý không mâu thuẫn là đủ: nó sẽ luôn luôn cho phép chúng ta triển khai bao nhiêu tam đoạn luận tùy thích; chỉ khi nào vấn đề là đặt một cái vô hạn vào trong một công thức duy nhất, chỉ khi đứng trước cái vô tận, thì nguyên lý [không mâu thuẫn] này mới thất bại, và cũng chính ở giới hạn này mà kinh nghiệm cũng trở thành bất lực. Chính cái quy tắc [suy luận truy hồi] trên, cái mà chứng minh phân tích và kinh nghiệm không thể tiếp cận được, mới là loại hình phán đoán tổng hợp tiên thiên thực sự. Mặt khác, chúng ta cũng không thể nhìn thấy ở đây một quy ước, như đối với một vài định đề hình học.

Vậy thì, vì sao phán đoán này lại tự áp đặt cho chúng ta với một vẻ hiển nhiên không thể cưỡng lại như vậy? Bởi vì nó chỉ là sự khẳng định về sức mạnh của trí tuệ, cái vốn tự biết rằng bản thân nó có khả năng quan niệm sự lặp lại vô thời hạn của cùng một hành động, ngay khi hành động ấy là điều có thể xảy ra một lần. Trí tuệ của ta có một trực giác trực tiếp về sức mạnh này, và kinh  nghiệm đối với nó chỉ có thể là một cơ hội để sử dụng, và qua đó, nhận thức được nó. […]

Chúng ta không thể không biết: ở đây có một sự giống nhau đập vào mắt với các phương thức quy nạp^[2] thông thường, quen thuộc. Tuy nhiên, vẫn có một khác biệt cơ bản. Khi áp dụng cho khoa vật lý học^[3], phép quy nạp luôn luôn là không chắc chắn, bởi vì nó dựa trên niềm tin vào một trật tự chung của Vũ trụ, một trật tự nằm ngoài chúng ta. Trái lại, quy nạp toán học – nghĩa là phép chứng minh truy hồi – tự áp đặt một cách tất yếu, bởi vì nó chỉ là sự khẳng định một đặc tính của chính bản thân trí tuệ. 

Henri Poincaré,
Khoa Học Và Giả Thuyết,
(La Science et l'hypothèse,
Paris, Flammarion, 1909,
tr. 19 và 22-24).

^[1] Thuật từ tiếng Pháp: démonstration, raisonnement par récurrence ; récursivité, récursif(ve). Phương thức chứng minh mà nội dung là mở rộng tới mọi vế của một chuỗi điều có giá trị cho hai cái đầu tiên (Le Petit Robert). Thuật từ tiếng Việt thường thấy: truy hồi, truy toán, đệ quy.

^[2] Inducere (La-tinh) cho induire và enduire trong tiếng Pháp. Induire: dẫn tới, đưa tới, đẩy tới. Enduire: phủ một mặt phẳng bằng một chất mềm hơn có thể thấm vào nó. Induction: thao tác tinh thần mà nội dung là đi từ sự kiện lên quy luật, từ các trường hợp cá biệt hay đặc biệt lên một mệnh đề tổng quát – từ đó, tổng quát hóa.

^[3] Xem thêm trên trang mục Vật Lý và Thiên Văn Học: Robert Blanché, Sự Xây Dựng Khoa Vật Lý Học Mới Và Phương Pháp Thực Nghiệm, I.2a