QUYỂN «PRINCIPIA MATHEMATICA»
VÀ TOÁN LÔ-GIC
(1954)

Tác giả: Raymond Bayer^[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Trong số các «quan hệ» lô-gic khác nhau, quan hệ toán học giữ một vị trí nổi bật, và chúng ta phải quan niệm tương quan giữa Lô-gic học với Toán học như thế nào là cả một vấn đề. Với sự xuất hiện của Toán lô-gic (Logistique) Lô-gic học còn tiến gần Toán học hơn nữa. Trong lịch sử của chủ đề này, quyển Principia Mathematica (1910-1913) của Bertrand Russell* và Alfred North Whitehead* từng đánh dấu một thời kỳ, với những luận điểm chính yếu được Raymond Bayer tóm tắt trong trích đoạn dưới đây.

*

Với quyển Principia Mathematica của Whitehead và Russell, toàn bộ môn lô-gic học đã vĩnh viễn trở thành toán lô-gic; thực vậy, lý thuyết này tìm cách quy giản* toán học thành lô-gic học, nhằm qua đó hình thành một học thuyết duy nhất mà lô-gic học sẽ là phần cung cấp mọi chuẩn mực và quy tắc. Môn toán lô-gic được cấu tạo như vậy phải được sử dụng để chuyển toán học thành những mệnh đề lô-gic học thuần túy. Chiếc cầu nối từ cái này sang cái kia được cung cấp bởi định nghĩa của những ý tưởng toán học cơ bản biến thiên theo những từ không thể định nghĩa. Những từ không thể xác định nghĩa này là: «tất cả», một số»^[2], v. v… Chúng cho phép ta chuyển từ các mệnh đề sơ đẳng sang các mệnh đề cao hơn về cấp bậc.

Lý thuyết về tam đoạn luận, vốn là trung tâm của lô-gic học cũ, chỉ giữ trong phương pháp mới này một vị trí không quan trọng. Người ta áp dụng cho toán lô-gic cái phương pháp riêng biệt của toán học, phương pháp này thay thế sự suy nghĩ trên những sự vật bằng một suy nghĩ được chuyển vị lên sự lựa chọn các ký hiệu của những sự vật này.

Principia Mathematica bắt đầu bằng cách đưa ra như định đề một số «mệnh đề nguyên tử» liên quan đến triết lý của lô-gic học và còn thoát ra ngoài phương pháp toán học.

Ký hiệu lô-gic được định nghĩa là một biến, khi nào ý nghĩa của nó vẫn chưa được xác định: những xác định có thể đưa ra là các giá trị của nó. Các giá trị này có thể rất đa dạng về bản chất, tùy từng trường hợp và bản chất của mệnh đề. Trong một mệnh đề nguyên tử, các giá trị của một biến, bởi định nghĩa, đều là những cá thể.

Chúng ta cần lưu ý hai mặt của lý thuyết:

– Quan điểm hiện thực của Russell đã bộc lộ rõ trong lời tựa của ông cho quyển Tractatus logico-philosophicus của L. Wittgenstein^[3]. Cho một mệnh đề nguyên tử, không có khác biệt nào giữa cái đúng và cái được thực hiện; giữa cái sai và cái không tồn tại. Thuộc tính của một mệnh đề nguyên tử chỉ đơn giản là loài thấp nhất trong sự phân loại hoặc phân chia lô-gic (species infima). «Thế giới phân tán thành những sự kiện (faits); thật ra, sự kiện là cái không thể được định nghĩa một cách chặt chẽ, nhưng ta có thể giải thích ý nghĩa của điều ta hiểu bằng cách nói rằng chính sự kiện là những cái làm cho các mệnh đề là đúng hoặc sai». Đối với Wittgenstein cũng như đối với Russell, hệ quả của nó là rất rõ ràng: «Các biến cố trong tương lai không thể được suy ra từ các biến cố hiện tại. Chuỗi nhân quả là một sự mê tín» (Wittgenstein). «Ngày mai mặt trời sẽ mọc là một giả định. Trên thực tế, chúng ta không biết nó sẽ mọc hay không, bởi vì không nhất thiết là một sự kiện phải tồn tại vì một sự kiện khác tồn tại» (Russell).

– Sự suy diễn hình thức. Các mệnh đề cơ bản phải được đặt ra như giả thuyết trong lô-gic học: chúng là các tiên đề như tiên đề học cổ điển hiện đại đặt ra. Kết quả của sự can thiệp của các phương pháp toán học cụ thể, đặc biệt là việc sử dụng một cách có hệ thống những ký hiệu và phép suy diễn được hình thức hóa, khiến cho các khuôn khổ chật hẹp của lô-gic học cũ bị phá vỡ hoàn toàn. Cuối cùng, Russell xây dựng học thuyết của mình và quyền chuyển từ một trình tự phán đoán này sang một trình tự phán đoán khác trên định đề về tính quy giản*, bằng cách vừa một mặt nêu lên đặc tính tiên đề và giả thuyết của nó, vừa mặt khác viện dẫn sự kiện như xác chứng đầu tiên và cuối cùng lấp đầy chuỗi các tiên đề rỗng. Như vậy, hệ thống cấp bậc của những phán đoán sẽ thoát khỏi các nghịch lý nổi tiếng, đồng thời cho phép tái tạo toán học bằng ngôn từ lô-gic học. «Mọi mệnh đề đêu tương đương với một mệnh đề sơ đẳng và có thể được quy giản vào nó».

Raymond Bayer,
Triết Lý Khoa Học và Lô-gic Học Từ Kant Đến Nay,
(Épistémologie et Logique depuis Kant jusqu'à nos jours,
Paris, PUF, 1954, tr. 316-318).