PHẦN CỦA TRỰC GIÁC
TRONG TOÁN HỌC
(1987)

Tác giả: Jean Dieudonné^*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Mặc dù là người theo hình thức luận và là nhân vật chính trong nhóm Bourbaki*, Jean Dieudonné không loại trừ một loại trực giác nhất định trong toán học, như được phác hoạ trong trích đoạn dưới đây.  

*

Khi nói về công việc của họ, mọi nhà toán học lớn đều thích nhấn mạnh trên vai trò của cái mà họ thường gọi là «trực giác» của mình. Điều này có vẻ là lạ đối với người không quen thuộc với lĩnh vực này: nếu mở một cuốn sách toán ngày nay ra, anh ta sẽ chỉ thấy hàng trăm bổ đề, công thức, định lý, hệ luận, cuốn móc  nhau một cách phức tạp theo các quy tắc lô-gic khắc nghiệt, và liên quan tới loại đối tượng toán học không thể có bất kỳ một «hình ảnh» nào trong thế giới cảm quan của chúng ta. Tôi biết nhiều nhà toán học cao tuổi, tuy đã đạt được một sự thành thạo không thể chối cãi trong phân tích cổ điển nhưng lại không thể hình dung được cách những đàn em của họ lèo lái không do dự trong một đại dương đầy những «trừu tượng»; họ sẽ dễ dàng đồng hóa lý luận của họ với một hành động máy móc là chỉ cố sắp xếp những công thức mà không tìm hiểu chúng.

Tôi tin rằng không có gì xa với sự thực hơn nhận định này; nhưng rõ ràng là chúng ta phải từ bỏ cách hiểu từ «trực giác»  theo nghĩa thông thường. Điều khó khăn là cái mà nhà toán học gọi là «trực giác» là một trải nghiệm tâm lý hoàn toàn cá nhân của anh ta, hầu như không thể trao chuyển được, và ta có mọi lý do để tin rằng «trực giác» của hai nhà toán học thường là rất khác nhau.

Tuy nhiên, có lẽ không hoàn toàn là ảo tưởng nếu ta muốn trích xuất một vài đặc trưng từ trải nghiệm này, và mặc dù chủ yếu chỉ dựa vào ký ức của chính mình, tôi tin rằng chúng là những nét chung cho khá nhiều người. Trước tiên, khi chúng ta bắt đầu quan tâm tới một lý thuyết trước đây chưa biết, ta không có «trực giác» nào về nó, mặc dù có thể xác minh từng bước các bằng chứng về mọi định lý của lý thuyết. Chúng ta tự đặt cho mình những câu hỏi mà sau này ta đánh giá là ngu ngốc, nhưng hoàn toàn không có khả năng tự đưa ra những lập luận tương tự như các tác giả mà ta đọc. Thế rồi, nếu chúng ta kiên trì, tấm màn che sẽ nâng lên từng chút một, và chúng ta bắt đầu hiểu vì sao các nhà toán học đóng góp cho lý thuyết đã tiến hành theo cách này, chứ không phải là một cách nào khác. Những vật thể của lý thuyết trở nên quen thuộc; và chúng ta chợt nhận ra rằng chúng có những hành vi «tự nhiên» mà ta phải thận trọng tránh xô đẩy. Chính vào lúc đó chúng ta mới có cơ hội thấy một định lý mới, hoặc một phương pháp chứng minh mới, đi xa hơn những cái trước^[1]. «Trực giác» đã đến, nhưng nó không đủ; cần phải đặt cách chứng minh vừa hé thấy dưới các quy tắc bắt buộc của lô-gic học, và để chúng sắp xếp tất cả các bộ phận của nó: công đoạn vất vả, đôi khi vẫn còn gặp những trở ngại bất ngờ dễ gây nản lòng. Làm thế nào nhà toán học ngày nay có thể bắt tay vào cuộc hành trình hướng tới khám phá này (...) khi mà các ý niệm anh ta phải vận dụng hoàn toàn không có bất kỳ một «hình ảnh» cảm quan nào? Tôi tin rằng anh ta sẽ tự tạo cho mình những hình ảnh thuần tuý tinh thần và không thể trao chuyển về những đối tượng toán học này. Sự công thức hoá chính xác các tiên đề nhằm xác định chúng – ở đó mọi đặc tính dư thừa mà chúng có thể phô bày trong những sử dụng khác nhau về cấu trúc của chúng đã bị loại bỏ – có thể giúp hình thành các hình ảnh này; nói cách khác, và mặc dù điều này có vẻ nghịch lý, sự trừu tượng hoá có thể là hữu ích cho việc hình thành «trực giác» hơn là làm tê liệt nó.

Jean Dieudonné,
Để Vinh Danh Trí Tuệ Con Người –
Toán Học Ngày Nay
(Pour l'honneur de l'esprit humain –
Les Mathématiques aujourd'hui,
Paris, Hachette, 1987, tr. 176-177.

^[1] Xem thêm trên trang mục này, khi có thể tham khảo: Henri Poincaré, Trực Giác Trong Phát Minh Toán Học và Judith Schlanger, Phát Minh của Henri Poincaré.