|
CN : 15-11-2022 ; 15-03-2024 |
C2 |
TOÁN HỌC & LÔ-GIC HỌC
(1949)
Tác giả: Jean Piaget[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa
*
Phải hiểu quan hệ giữa Toán học và Lô-gic học như thế nào? Trong trích đoạn dưới đây, Jean Piaget cho chúng ta thấy bốn quan điểm chính.
*
Dưới ảnh hưởng kép của, một mặt, sự hòa trộn không thể phủ nhận giữa hai phương pháp, và mặt khác, sự hội tụ của một phần lô-gic học với các chương tổng quát của toán học, xu hướng muốn hợp nhất hai bộ môn này ngày càng trở nên mạnh mẽ hơn. Thế nhưng chính các phương thức của sự hợp nhất được mong muốn ấy cũng thay đổi từ trường phái này sang trường phái kia, và dù muốn quyết định như thế nào, chúng ta cũng cần phải xem xét cả bốn giải pháp khả thi.
Ta có thể, với B. Russell (1872-1970)*, coi toàn bộ toán học là một lớp con của lô-gic học, sự phụ thuộc này thể hiện hy vọng quy giản* hoàn toàn các quan hệ toán học thành những thực thể lô-gic[2]. Ta có thể, với D. Hilbert (1862-1943)[3] quan niệm các quan hệ lô-gic như một lớp con của những hữu thể[4] toán học, những hữu thể này không phải đều có thể được quy giản* thành các cấu trúc lô-gic hết cả, nhưng lại bao gồm cả chúng như các trường hợp đặc biệt. Thứ ba, ta có thể hình dung cả lô-gic học lẫn toán học như hai lớp con tách biệt của tập hợp lớn những cấu trúc hình thức hay trừu tượng. Cuối cùng, chúng ta cũng có thể quan niệm các cấu trúc lô-gic và toán học như phần nào là tách rời, nhưng lại tạo lập một phần chung, do sự đồng hóa qua lại (đối ứng, thuận nghịch) chứ không còn là một chiều nữa (...)
Vấn đề, không phải là chọn lựa giữa bốn kết hợp có thể, mà là đưa ra một lựa chọn tạm thời hướng tới những quan hệ tốt hơn trong tương lai. Về mặt này, có lẽ phải loại trừ công thức đầu tiên. Chẳng những những quy giản* từ toán học vào lô-gic học mà G. Frege (1848-1925)[5] và B. Russell làm thử đã bị phản bác ngay từ đầu, mà lịch sử của bản thân lô-gic toán học cũng đã dẫn tới những đảo lộn bất ngờ: người ta đã không thể xác định bằng các phương tiện thuần túy lô-gic tính không-mâu thuẫn của số học, mà hơn nữa, K. Gödel (1906-1978)[6] còn chứng minh năm 1929 rằng sự chứng minh ấy là bất khả thi, trừ phi dùng các công cụ cao hơn bản thân số học. Do đó, hiện nay không thể nào xem toán học là một phần của lô-gic học.
Đối với giải pháp thứ hai, sự phụ thuộc đảo ngược, nó dựa trên một quy ước bằng lời hơn là một kết nối tự nhiên: biến lô-gic học thành một phần của toán học sẽ có ý nghĩa xây dựng nếu, từ một cấu trúc tổng quát duy nhất (chẳng hạn như một «lô-gic tổng quát», một «nhóm» của tất cả các nhóm, hoặc một hệ thống tập hợp bao gồm tất cả các tập hợp lô-gic có thể, v. v…), ta có khả năng tạo ra cái nguyên lý của một sự phân biệt giữa các cấu trúc lô-gic và cấu trúc bên kia lô-gic hay toán học thuần túy. Nhưng không hề có những cấu trúc tổng quát như vậy, và trong trường hợp thiếu vắng này, nếu ta xem là toán học các thao tác lô-gic mà một nhà sinh học thực hiện, chẳng hạn như khi ông ta sắp xếp một tập hợp động vật thành loài, chi, họ… dựa trên sự có mặt hoặc vắng mặt của một số đặc tính cụ thể nào đó, thì đây chỉ là một vấn đề thuần túy ngôn từ mà thôi.
Còn về giải pháp thứ ba, thì nó là không thể chấp nhận được, vì có những cấu trúc chung cho cả lô-gic học lẫn toán học: ngay cả khi lô-gic học mệnh đề lưỡng trị (bivalent propositional logic)[7] không bao gồm tất cả mọi hình thức suy luận toán học, nó vẫn bao trùm một phần lớn của chúng, và do đó thuộc về bộ môn này cũng như môn học kia.
Như vậy, chỉ còn lại giải pháp thứ tư cần được xem xét: sự tự chủ tương đối của lô-gic học và toán học, và sự quy giản[8] qua lại, cái này vào cái kia, của các phần riêng biệt. Nhưng một sơ đồ như vậy tất nhiên phải được hiểu theo nghĩa dò tìm (heuristic)[9], nghĩa là các biên giới và khả năng quy giản* trong tương lai vẫn được để mở. Trong tình hình tri thức hiện nay, lô-gic học giữ vai trò của một lĩnh vực kém hơn, nghĩa là đơn giản hoặc sơ đẳng hơn, so với toán học là cái trội hơn nó về độ phức tạp và mức phong phú. Lúc đó sẽ xảy ra giữa hai môn học thấp và cao cùng một dòng đồng hóa kép, có qua có lại, như ở mọi cặp khoa học trong cùng một tình huống: toán học bị đồng hóa một phần bởi lô-gic học, nhưng lô-gic học cũng được toán học làm cho phong phú hơn bấy nhiêu. Do đó, lô-gic học không «áp dụng» từ bên ngoài vào toán học: nó đã được sáp nhập một phần vào toán học, rồi do đó và qua đó, được khái quát hóa thành lô-gic toán học. Ngược lại, toán học không đơn giản bị quy giản* vào lô-gic học; toán học bổ túc và sửa đổi lô-gic học theo một quá trình trao đổi liên tục.
Jean Piaget
Chuyên Luận Về Lô-gic Học,
(Traité de Logique,
Paris, A. Colin, 1949,
tr. 18-21, passim,
[1] Jean Will Fritz Piaget (1896-1980): nhà tâm lý học, sinh học, triết học người Thụy Sĩ nổi tiếng trong các lĩnh vực tâm lý trẻ em, tâm lý phát triển, và nhận thức luận, với quan điểm gọi là nhận thức luận phát sinh (genetic epistemology, từ genetic ở đây là do genesis = genèse (nguồn gốc, phát sinh), không liên quan gì tới génétique theo nghĩa di truyền học). Tác phẩm tiêu biểu: Le Langage et la pensée chez l'enfant (1923); La construction du réel chez l'enfant (1937); Introduction à l'épistémologie génétique (3 q., 1950); Études sociologiques (1965); Logique et connaissance scientifique (1967); Biologie et connaissance (1967); Le structuralisme (1968); Psychologie et pédagogie (1969); Psychologie et épistémologie (1970); L'épistémologie génétique (1970); Où va l'éducation? (1972); L'équilibration des structures cognitives (1975); De la pédagogie (1988).
[2] Xem trên cùng trang mục này : Bertrand Russell, Toán Học Và Lô-gic Học.
[3] David Hilbert (1862-1943): nhà toán học Đức, một trong những người có ảnh hưởng lớn nhất trên thế kỷ XX do những ý kiến phong phú trong nhiều lĩnh vực căn bản của toán học và lô-gic học. Tác phẩm chính: Grundlagen der Geometrie (1899) = Foundations of Geometry (1902) = Fondements de la géométrie (1971); Mathematische Probleme = Sur les problèmes futurs des mathématiques (1900); Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (1912); Grundlagen der Physik (1915); Grundzüge der theoretischen Logik (với Wilhelm Ackermann, 1928); Gesammelte Abhandlungen (3 q., 1932-1935); Anschauliche Geometrie (với Stephan Cohn-Vossen, 1932) = Geometry and imagination (1952); Grundlagen der Mathematik (với Paul Berneys, 2 q., 1934-1939).
[4] Xem trên trang mục Triết Lý Khoa Học: Jacques Maritain, Những Hữu Thể Của Lý Trí.
[5] Gottlob Frege (1848-1925) nhà lô-gic, toán, triết học Đức, người đã có nhiều đóng góp quan trọng cho nền tảng của toán học, lô-gic học hiện đại và triết học phân tích. Tác phẩm chính: Begriffsschrift (1879) = Begriffsschrift (1967) = L'Idéographie (1999); Die Grundlagen der Arithmetik (1884) = The Foundations of Arithmetic (1950) = Les Fondements de l'arithmétique (1969); Grundgesetze der Arithmetik (2 q., 1893-1903) = Basic Laws of Arithmetic (2013); Über die Grundlagen der Geometrie (2 q., 1903-1906) = On the Foundations of Geometry and Formal Theories of Arithmetic (1971); Logische Untersuchungen: 1918-1923 (1966) = Logical Investigations (1975) = Recherches logiques (?).
[6] Kurt Gödel (1906-1978): nhà toán học, lô-gic học người Mỹ gốc Áo, tác giả của một định lý có tầm ảnh hưởng quyết định trong toán học là «định lý bất toàn hay bất hoàn chỉnh = incompleteness theorem»), theo đó: nếu một hệ thống (lô-gic hay tiên đề hình thức) là chặt chẽ, thì sự chặt chẽ của các tiên đề cũng không thể được chứng minh bên trong chính hệ thống đó. Những chuyên luận và trao đổi thư từ của ông nay được tập hợp trong: K. Gödel, Collected Works (5 q.: Vol. I: Publications 1929–1936; Vol. II: Publications 1938–1974; Vol. III: Unpublished Essays and Lectures; Vol. IV: Correspondence, A–G; Vol. V: Correspondence, H–Z.
[7] Bộ phận của lô-gic toán học nhằm nghiên cứu các quan hệ lô-gic giữa những «mệnh đề» (loại câu phản ánh tính đúng hoặc sai của một thực tế khách quan), xác định các quy luật hình thức qua đó những mệnh đề phức hợp được hình thành (từ sự kết nối những mệnh đề nguyên tử bằng các ký hiệu kết nối lô-gic), và giá trị chân lý của những chuỗi mệnh đề được móc xích như vậy. «Lưỡng trị» là quy chiếu về hai giá trị là đúng hoặc sai.
[8] Xem thêm các bài về quy giản luận và phép quy giản trong khoa học nói chung ở trang mục Triết Lý Khoa Học, những bài về cùng chủ đề trong các khoa học chuyên biệt ở các trang mục liên quan.
[9] Heuristic là tên của loại thuật giải đối lập với algorithmic. Khi ta (con người hoặc máy tính) phải giải quyết một vấn đề, có hai trường hợp: một là theo một chuỗi các công đoạn (a,b,c,d), lần lượt thực hiện từng công đoạn một theo trật tự đó, để cuối cùng giải quyết được vấn đề – thứ giải pháp từng bước này được gọi là thuật giải theo lập trình (algorithmic, do chữ algorithm, từ tên Al-Khwârizmî, nhà toán học Persia tk thứ IX); hai là, nếu không có được một algorithm, thì dựa trên những thông tin ta có, thử dùng một kinh nghiệm có thể áp dụng, không được thì loại bỏ, chỉnh sửa hoặc dùng thử nghiệm khác, cho đến khi thành công hay không – nghĩa là theo thuật giải dò tìm (heuristic, do từ Hy Lạp εὑρίσκω = tôi tìm, khám phá). Thuật giải algorithmic được thấy thường xuyên ở loại máy tính thông thường; thuật giải heuristic thường được dùng trong những công trình về trí tuệ nhân tạo.