TOÁN HỌC VÀ LÔ-GIC HỌC
(1919)

Tác giả : Bertrand Russell*
Người dịch : Nguyễn Văn Khoa

*

Để bạn đọc dễ theo dõi trích đoạn này[1], chúng tôi đã thêm vào bản dịch một số tiểu tựa và chú thích không có trong nguyên bản.

*

I - LÔ-GIC HỌC & TOÁN HỌC LÀ HAI HAY MỘT MÔN HỌC?

Về mặt lịch sử, toán học và lô-gic học là hai ngành hoàn toàn khác biệt. Toán học được kết nối với khoa học, lô-gic học với tiếng Hy Lạp. Nhưng cả hai đều đã phát triển trong thời hiện đại: lô-gic học trở thành toán học hơn, và toán học trở thành lô-gic học hơn. Hệ quả là, thời nay, ta hoàn toàn không thể phác hoạ một ranh giới giữa hai môn này; trong thực tế, hai ngành này là một. Chúng khác nhau như một cậu bé với một người đàn ông: lô-gic học là tuổi trẻ của toán học, và toán học là thời trưởng thành của lô-gic học. Quan điểm này gây phẫn nộ cho các nhà lô-gic học – những người không có khả năng theo dõi một mảnh lý luận ký hiệu sau bao thời gian dành ra để nghiên cứu các văn bản cổ điển, và cho các nhà toán học – những người từng học một kỹ thuật nhưng chưa hề bận tâm tìm hiểu ý nghĩa hoặc thấy cần biện minh cho nó. May thay, cả hai loại người này bây giờ mỗi ngày một  hiếm. Rất nhiều công trình toán học hiện đại rõ ràng là nằm trên đường ranh với lô-gic học, và rất nhiều công trình lô-gic học hiện đại mang tính ký hiệu và hình thức[2], đến mức là sự tương quan rất chặt chẽ giữa lô-gic học và toán học đã trở thành hiển nhiên đối với mọi sinh viên được đào tạo. Tất nhiên, bằng chứng về sự đồng nhất của chúng là vấn đề chi tiết: bắt đầu bằng những tiền đề được thừa nhận một cách phổ quát thuộc về lô-gic học, đạt tới những kết quả cũng rõ ràng như tiền đề bằng suy diễn thuộc về toán học, và chúng ta đều thấy rằng không có điểm nào từ đấy ta có thể vẽ ra một đường ranh sắc nét, với lô-gic học ở bên trái và toán học ở bên phải. Nếu vẫn còn có những người không thừa nhận sự đồng nhất của lô-gic học với toán học, chúng tôi [B. Russell & A. N. Whitehead] thách thức họ chỉ ra điểm nào, trong các định nghĩa và suy diễn liên tiếp của Principia Mathematica[3], họ có thể xem là nơi lô-gic học kết thúc và là nơi toán học bắt đầu. Khi đó, hiển nhiên rằng bất kỳ câu trả lời nào cũng đều là tùy tiện cả.

Bắt đầu từ loại số tự nhiên, chúng tôi định nghĩa «số đếm (cardinal number)» và chỉ ra cách khái quát hóa quan niệm số, rồi phân tích các quan niệm bao hàm trong định nghĩa, cho đến khi chúng tôi tự nhận thức rằng mình đang vận dụng các nguyên tắc cơ bản của lô-gic học. Trong một phương pháp xử lý tổng hợp, suy diễn, các nguyên tắc lô-gic cơ bản này xuất hiện trước, và người ta chỉ tiến đến những số tự nhiên sau một lộ trình dài. Một cách xử lý như vậy, mặc dù về mặt hình thức là đúng hơn cách chúng tôi áp dụng, nhưng lại gây khó khăn hơn cho người đọc, bởi vì các khái niệm và mệnh đề lô-gic học cuối cùng, mà nó dùng để bắt đầu, đều còn là xa lạ, không quen thuộc với độc giả so với loại số tự nhiên. Vì vậy, chúng đại diện cho biên giới hiện tại của tri thức, bên kia đường ranh vẫn là những điều chưa biết, và sự thống trị của sự hiểu biết trên chúng vẫn chưa phải là an toàn.

Người ta thường nói rằng toán học là khoa học về «lượng (quantity)». «Lượng» là một từ mơ hồ, để tiện lập luận, ta có thể thay nó bằng từ «số (number)». Mệnh đề cho rằng toán học là khoa học về số sẽ không đúng, theo hai nghĩa khác nhau. Một mặt, có những nhánh toán học được công nhận là không liên quan gì đến số — tất cả phần hình học không sử dụng tọa độ (co-ordinates) hoặc phép đo (measurement) chẳng hạn: cho tới thời điểm mà tọa độ được đưa vào, hình học xạ ảnh (projective geometry) và hình học mô tả không liên quan gì đến «số», hoặc thậm chí tới «lượng» theo nghĩa là có hơn và kém. Mặt khác, thông qua định nghĩa về số đếm, thông qua lý thuyết quy nạp và quan hệ truyền lại (ancestral relations)[4], thông qua lý thuyết tổng quát về chuỗi, và thông qua định nghĩa các phép toán số học, ta đã có thể khái quát hóa nhiều điều mà trước đây chỉ được chứng minh trong kết nối với các con số. Kết quả là những gì trước đây là nghiên cứu đơn thuần về số học, nay đã được chia thành nhiều khu vực riêng biệt, không cái nào đặc biệt liên quan tới các con số cả. Những thuộc tính cơ bản nhất của số liên quan đến quan hệ một-một (one-one, song ánh), và quan hệ đồng dạng (similarity) giữa các tập hợp. Phép cộng liên quan tới việc xây dựng các tập hợp loại trừ lẫn nhau, mỗi cái đồng dạng với một bộ các tập hợp không được biết là loại trừ lẫn nhau. Phép nhân được hợp nhất trong lý thuyết về «phép chọn (selections)», tức là về một loại quan hệ một-nhiều (one-many) nào đấy. Tính hữu hạn được hợp nhất trong nghiên cứu chung về các quan hệ truyền lại*, mang tới toàn bộ lý thuyết về quy nạp toán học. Những thuộc tính thứ tự của các loại dãy số (numbers-series) khác nhau, và những yếu tố của lý thuyết về tính liên tục của các hàm (theory of continuity of functions) và những giới hạn của các hàm (limits of functions), có thể được tổng quát hóa để không còn liên quan tới bất kỳ quy chiếu cần thiết nào tới các con số cả. Trong mọi lý luận hình thức, tổng quát hóa đến mức tối đa là một nguyên tắc, bởi vì qua đó ta đảm bảo rằng một quá trình suy diễn đã cho sẽ có những kết quả áp dụng được rộng rãi hơn; như vậy, khi tổng quát hóa lý luận của số học, chúng ta đang chỉ tuân theo một mệnh lệnh được thừa nhận phổ biến trong toán học. Và khi tổng quát hóa như thế, thực ra chúng ta đã tạo nên một bộ những hệ thống suy diễn mới, trong đó số học truyền thống đã được hoà tan và mở rộng tức thì; thế nhưng, cho rằng bất kỳ một cái nào trong các hệ thống mới này — lý thuyết về các phép chọn, chẳng hạn — là thuộc về lô-gic học hoặc thuộc về số học đều hoàn toàn là tùy tiện, chứ không thể được quyết định một cách thuần lý.

II - HÌNH THỨC

2.1 – Cái Toán học và Lô-gic học cùng có chung

Do đó, chúng ta phải đối mặt với câu hỏi: chủ đề này — cái có thể được gọi một cách không phân biệt là toán học hoặc lô-gic học — là gì? Liệu chúng ta có cách nào định nghĩa nó chăng?

Một số đặc điểm của chủ đề là rõ ràng. Để bắt đầu, trong chủ đề này, chúng ta không xử lý những sự vật cụ thể hay các tính chất cụ thể, mà đang xử lý một cách hình thức cái có thể nói về bất kỳ sự vật nào, hay bất kỳ tính chất nào. Chúng ta đang sẵn sàng để nói rằng một và một là hai, chứ không phải Sōkratēs và Platōn là hai, bởi vì trong tư cách và khả năng là nhà lô-gic học hay nhà toán học thuần túy, ta chưa bao giờ nghe nói tới Sōkratēs và Platōn. Một thế giới ở đấy không có những cá nhân như vậy sẽ vẫn là một thế giới trong đó một và một là hai. Với tư cách là nhà toán học hay nhà lô-gic học thuần túy, ta không được đề cập tới bất cứ cái gì, bởi vì, nếu ta làm như vậy, chúng ta đã đưa vào đấy một cái gì đó không liên quan và không hình thức. Ta có thể làm rõ điều này bằng cách áp dụng nó vào trường hợp của tam đoạn luận. Lô-gic học truyền thống nói: «Mọi con người đều là phải-chết (mortal = mortel); Sōkratēs là một con người; do đó, Sōkratēs là phải-chết»[5]. Trước tiên, rõ ràng điều chúng ta muốn khẳng định là các tiền đề bao hàm kết luận, chứ không phải là cả các tiền đề lẫn kết luận đều đúng trong hiện thực; ngay cả thứ lô-gic học truyền thống nhất cũng chỉ ra rằng chân lý trong thực tế của các tiền đề chẳng liên quan gì tới lô-gic học. Vì vậy, thay đổi đầu tiên cần được thực hiện trong tam đoạn luận truyền thống ở trên là phát biểu nó dưới dạng: «Nếu mọi con người đều là phải-chết và Sōkratēs là một con người, thì Sōkratēs là phải-chết». Bây giờ ta có thể thấy nó đã mang được cái ý định là chuyển tải rằng lập luận có giá trị bởi hình thức của nó, chứ không do các từ cụ thể xuất hiện trong đó. Nếu trong số các tiền đề, chúng ta đã quên nói «Sōkratēs là một con người», thì ta đã có một lập luận phi hình thức, và nó chỉ có thể được thừa nhận bởi vì Sōkratēs trong thực tế là một con người, nhưng với trường hợp này, ta không thể khái quát hoá lập luận. Nhưng khi lập luận là hình thức như ở trên, thì không có gì tuỳ thuộc vào các từ xuất hiện trong đó. Như vậy, chúng ta có thể thay thế con người bằng α, phải-chết bằng β và Sōkratēs bằng x; trong đó α và β là bất kỳ tập hợp nào, và x là bất kỳ cá nhân nào. Lúc đó, chúng ta đi tới phát biểu: «Cho dù x, α và β có thể có những giá trị nào đi nữa, nếu mọi cái α đều là β, và x là một α, thì x là một β»; nói cách khác, «hàm mệnh đề[6] “nếu mọi cái α đều là β và x là một α, thì x là β” là luôn luôn đúng». Ở đây, rốt cuộc  chúng ta có một mệnh đề lô-gic học — cái chỉ được gợi ý bởi phát biểu truyền thống về Sōkratēs, con người và tính phải-chết.

Rõ ràng rằng, nếu lý luận hình thức là điều ta nhắm tới, thì cuối cùng chúng ta sẽ luôn luôn tiến đến loại phát biểu như trên, trong đó không sự vật hoặc thuộc tính trong hiện thực nào được đề cập tới; điều này xảy ra thông qua ý muốn duy nhất là ta sẽ không lãng phí thời gian để chứng minh cho một trường hợp cá biệt điều gì có thể được chứng minh một cách phổ quát. Thực là nực cười nếu phải đi xuyên suốt một lập luận dài về Sōkratēs, rồi sau đó lại tiếp tục đi xuyên suốt chính xác cùng một lập luận ấy về Platōn. Nếu luận cứ của ta là một luận cứ đúng cho mọi con người chẳng hạn, chúng ta sẽ chứng minh nó là đúng cho «x», với giả thuyết «nếu x là con người». Với giả thuyết này, lập luận sẽ giữ nguyên giá trị giả định của nó, ngay cả khi x không phải là một con người. Bây giờ ta sẽ thấy rằng lập luận của chúng ta vẫn sẽ đúng nếu như, thay vì giả sử x là một con người, chúng ta giả định nó là một con khỉ hoặc một con ngỗng hoặc một ông Thủ Tướng[7]. Như vậy, chúng ta sẽ không lãng phí thời gian lấy «x là một con người» làm tiền đề, mà sẽ lấy «x là một α», trong đó α là bất kỳ một tập hợp cá thể nào, hoặc «ψx» trong đó ψ là bất kỳ một hàm mệnh đề nào thuộc một loại hình nào đó đã cho. Như vậy, sự vắng mặt của mọi đề cập tới các sự vật hoặc tính chất đặc thù, trong lô-gic học hoặc toán học thuần túy, đều là kết quả tất yếu của sự kiện công trình nghiên cứu này là, đúng như chúng ta nói, «thuần túy hình thức».

2.2 – Yếu tố cấu thành một mệnh đề lô-gic

Tại điểm này, chúng ta phải đối mặt với một vấn đề dễ nêu lên hơn là giải quyết. Đấy là vấn đề: «Các yếu tố cấu thành của một mệnh đề lô-gic là gì?» Tôi không biết câu trả lời, nhưng đề nghị giải thích vấn đề đã nảy sinh như thế nào.

(Giả sử) ta lấy mệnh đề «Sōkratēs là trước Aristotelēs». Ở đây, rõ ràng là, giữa hai từ, chúng ta có một quan hệ, và các yếu tố cấu thành mệnh đề (cũng như của sự kiện tương ứng) chỉ đơn giản là hai từ và mối quan hệ, tức là Sōkratēs, Aristotelēs, và trước [sớm hơn]. (Tôi bỏ qua thực tế là cả Sōkratēs lẫn Aristotelēs đều không đơn giản; cả sự kiện cái có vẻ là tên của họ thực sự là những mô tả bị cắt xén nữa. Cả hai sự kiện này đều không liên quan tới vấn đề hiện tại.) Chúng ta có thể trình bày cái dạng tổng quát của những mệnh đề như vậy là «x R y», nó có thể được đọc là «x có quan hệ R với y». Dạng tổng quát này có thể xảy ra trong các mệnh đề lô-gic học, nhưng không có trường hợp cụ thể nào của nó có thể xảy ra. Liệu chúng ta có nên suy ra rằng, tự nó, bản thân cái hình thức tổng quát cũng là một thành tố của các mệnh đề lôgic như vậy chăng?

Cho một mệnh đề, chẳng hạn như «Sōkratēs là trước Aristotelēs», chúng ta có một số thành tố nhất định, và cũng có một hình thức nhất định. Nhưng cái hình thức tự nó không phải là một thành tố mới; nếu nó là một thành tố mới, ta phải có một hình thức mới để bao gồm cả hai, cả nó lẫn các thành tố kia. Trên thực tế, chúng ta có thể đổi mọi thành tố của một mệnh đề thành các biến, trong khi vẫn giữ nguyên hình thức. Đây là điều ta làm khi sử dụng một lược đồ như «x R y», công thức đứng thay cho bất kỳ cái nào trong một nhóm mệnh đề nào đấy, cụ thể là những cái khẳng định các quan hệ giữa hai từ. Chúng ta có thể tiến đến các khẳng định tổng quát, chẳng hạn như «x R y đôi khi là đúng» — tức là có những trường hợp mà quan hệ giữa hai bên là đúng. Khẳng định này sẽ thuộc về lô-gic học (hoặc toán học) theo nghĩa mà ta đang sử dụng từ. Thế nhưng trong khẳng định này, chúng ta không đề cập tới bất kỳ một sự vật đặc thù hay quan hệ đặc thù nào cả; không một sự vật hoặc quan hệ cụ thể nào có thể đi vào một mệnh đề của lô-gic học thuần túy. Cho ta, chỉ còn những hình thức thuần túy như thành tố khả dĩ duy nhất của các mệnh đề lô-gic học.

Tôi không muốn khẳng định một cách triệt để rằng các hình thức thuần túy — như dạng «x R y», chẳng hạn — thực sự đi vào các mệnh đề thuộc loại mà ta đang xem xét [coi thuộc lô-gic học hoặc toán học]. Vấn đề phân tích các mệnh đề như vậy là một khó khăn, với nhiều cân nhắc đối chọi ở bên này hoặc bên kia. Chúng ta không thể lao vào câu hỏi này ngay bây giờ, nhưng ta có thể chấp nhận, như một tiếp cận gần đúng đầu tiên, cái quan điểm cho rằng hình thức chính là những gì bước vào các mệnh đề lô-gic học như thành tố của chúng. Và chúng ta có thể giải thích (mặc dù không thể đưa ra định nghĩa hình thức) cái mà ta hiểu là «hình thức» của một mệnh đề như sau:

«Hình thức» của một mệnh đề là cái vẫn không thay đổi trong mệnh đề, khi mỗi thành tố của mệnh đề được thay thế bằng một thành tố khác.

Do đó, «Sōkratēs là sớm hơn Aristotelēs» có cùng dạng với «Napoléon là vĩ đại hơn Wellington», dù mọi thành tố của hai mệnh đề đều đổi khác.

Vì vậy, chúng ta có thể đặt ra, như một đặc trưng cần (mặc dù không đủ) của các mệnh đề lô-gic học hoặc toán học, là chúng phải được cấu tạo sao cho, từ một mệnh đề không chứa các biến nào — nghĩa là không có các từ như mọi hay tất cả (all), vài (some), một (a), cái (the), v. v… —, bằng cách đổi mỗi thành tố thành một biến, và khẳng định rằng kết quả là luôn luôn đúng hoặc đôi khi đúng, hoặc là luôn luôn đúng đối với một số biến, ta có thể đạt được kết quả là nó đôi khi đúng đối với những mệnh đề khác, hoặc bất kỳ một biến thể nào của các hình thức này. Một cách khác để phát biểu điều tương tự là nói rằng lô-gic học (hoặc toán học) chỉ quan tâm đến các hình thức, và chỉ quan tâm đến chúng theo kiểu xác định rằng chúng là luôn luôn hoặc đôi khi đúng — với tất cả mọi hoán vị của «luôn luôn» và «đôi khi» có thể xảy ra.

2. 3 – Sự chỉ định hình thức bằng từ vựng hoặc cú pháp 

Trong mỗi ngôn ngữ đều có một số từ mà chức năng duy nhất là chỉ định hình thức. Nói một cách rộng rãi, những từ này là phổ biến nhất trong các ngôn ngữ có ít biến cách (inflections) nhất. Hãy lấy «Sōkratēs là con người». Ở đây «là» không phải là thành tố của mệnh đề, nó chỉ đơn thuần chỉ cái dạng chủ ngữ - vị ngữ. Tương tự, trong «Sōkratēs là sớm hơn Aristotelēs», «là» và «hơn» chỉ đơn thuần chỉ hình thức; nó giống như mệnh đề «Sōkratēs đến trước (precedes) Aristotelēs», trong đó các từ này đã biến mất và hình thức được chỉ định kiểu khác. Như một quy tắc, hình thức có thể được chỉ ra khác hơn là bằng các từ đặc biệt: thứ tự các từ có thể thực hiện hầu hết những gì mong muốn. Nhưng không nên quá ép nguyên tắc này. Ví dụ, thật khó mà xem làm thế nào chúng ta có thể diễn đạt các dạng phân tử của mệnh đề — cái ta gọi là «hàm sự thật (truth-function)»[8] chẳng hạn — một cách thích hợp mà không cần bất kỳ một từ nào. Ở Chương XIV[9], chúng ta đã thấy một từ hoặc ký hiệu là đủ cho mục đích này, cụ thể là một từ hoặc ký hiệu thể hiện sự không tương thích (incompatibility). Nhưng nếu không có, dù chỉ một cái, ta sẽ gặp khó khăn ngay. Tuy nhiên, đây không phải là điểm quan trọng cho mục đích hiện tại của chúng ta. Điều quan trọng đối với ta là thấy rằng hình thức có thể là quan tâm duy nhất của một mệnh đề tổng quát, ngay cả khi không có từ hoặc ký hiệu nào trong mệnh đề đó chỉ định hình thức. Nếu chúng ta muốn nói về cái hình thức tự thân, ta phải có một từ cho nó; nhưng nếu, như trong toán học, ta muốn nói về mọi mệnh đề có hình thức, thì một từ chỉ hình thức thường là không cần thiết; có lẽ trên lý thuyết nó không bao giờ là thiết yếu.

Giả sử — như tôi nghĩ chúng ta có thể — rằng các hình thức mệnh đề đều có thể được biểu thị bằng những dạng mệnh đề trong đó chúng được diễn đạt mà không có bất kỳ một từ đặc biệt nào cho các hình thức, ta phải tiến đến một thứ ngôn ngữ trong đó mọi cái gì là hình thức đều thuộc về cú pháp chứ không phải từ vựng. Với một ngôn ngữ như vậy, chúng ta có thể diễn đạt mọi mệnh đề của toán học, ngay cả khi ta không biết một từ nào của ngôn ngữ đó. Ngôn ngữ của lô-gic học toán học (mathematical logic), nếu được hoàn thiện, sẽ là một ngôn ngữ như vậy. Chúng ta phải có các ký hiệu cho các biến, chẳng hạn như «x» và «R» và «y», được sắp xếp theo nhiều cách khác nhau; và cách sắp xếp sẽ chỉ ra rằng điều gì đó đã được cho là đúng, với mọi giá trị hoặc một số giá trị của các biến. Ta không cần biết bất kỳ từ nào, bởi vì chúng chỉ cần thiết để cung cấp những giá trị cho các biến, và đó là công việc của nhà toán học ứng dụng, không phải của nhà toán học hay nhà lô-gic học thuần túy. Một trong những chỉ dấu của một mệnh đề lô-gic học là, cho một ngôn ngữ thích hợp, một mệnh đề như vậy có thể được khẳng định, trong một ngôn ngữ như vậy, bởi một người biết cú pháp mà không biết một từ nào trong kho từ vựng.

III - MỆNH ĐỀ LÔ-GIC HỌC & TOÁN HỌC THUẦN TUÝ

3. 1 – Hằng lô-gic (Logical constants)

Nhưng dù sao cũng có những từ thể hiện hình thức, chẳng hạn như «là» và «hơn». Và trong mọi hệ thống biểu tượng được phát minh ra vì lô-gic toán học cho đến nay đều có những ký hiệu mang ý nghĩa hình thức không đổi. Chúng ta có thể lấy ký hiệu về sự không tương thích (incompatibility) được sử dụng trong việc xây dựng các hàm sự thật* làm ví dụ. Những từ hoặc ký hiệu như vậy có thể được dùng trong lô-gic học. Câu hỏi đặt ra là: ta phải định nghĩa chúng như thế nào?

Những từ hoặc ký hiệu như vậy biểu đạt những gì chúng ta gọi là «hằng  lô-gic». Hằng lô-gic có thể được định nghĩa chính xác như ta định nghĩa hình thức; trên thực tế, chúng là cùng một thứ về bản chất. Hằng lô-gic cơ bản sẽ là cái điểm chung giữa một số mệnh đề, bất kỳ mệnh đề nào trong số đó cũng có thể là kết quả của bất kỳ mệnh đề nào khác, khi ta thay thế các hạn(g) từ*, cái này bằng cái khác. Ví dụ: «Napoléon là vĩ đại hơn Wellington» là kết quả đạt được từ «Sōkratēs là sớm hơn Aristotelēs», khi chúng ta thay thế «Sōkratēs» bằng «Napoléon», «Aristotelēs» bằng «Wellington», và «sớm hơn» bằng «vĩ đại hơn». Từ nguyên mẫu «Sōkratēs là sớm hơn Aristotelēs», một số mệnh đề có thể đạt được bằng cách này, còn một số khác thì không; những cái có thể đạt được là những mệnh đề có dạng «x R y», tức là những cái biểu hiện các quan hệ tay đôi (hai hạn(g) từ*). Nhưng từ nguyên mẫu trên, ta không thể đạt được, bằng cách thay thế từng hạn(g) từ* một, các mệnh đề như «Sōkratēs là con người» hoặc «người Athēnai đã cho Sōkratēs uống độc cần», bởi vì cái thứ nhất thuộc dạng chủ ngữ - vị ngữ, trong khi cái thứ hai diễn đạt một quan hệ tay ba (ba hạn(g) từ*). Nếu chúng ta muốn có bất kỳ từ nào [như từ thể hiện hình thức] trong thứ ngôn ngữ lô-gic học thuần túy của mình, thì chúng phải được như các «hằng lô-gic» biểu đạt, và các «hằng lô-gic» sẽ luôn luôn, hoặc phải là, hoặc phải được suy ra từ, cái là điểm chung giữa một nhóm mệnh đề có thể dẫn xuất cái này từ cái kia, bằng cách thay thế từng hạn(g) từ* một, kiểu như trên. Và điểm chung này là cái mà chúng ta gọi là «hình thức».

Theo nghĩa này, mọi «hằng số» xuất hiện trong toán học thuần túy đều là các hằng lô-gic học. Ví dụ, số 1 là đạo hàm từ các mệnh đề có dạng: «Có một số hạng (term) c sao cho ψx là đúng, khi và chỉ khi x là c». Đây là một hàm của ψ, và các mệnh đề khác nhau là kết quả của sự kiện cung cấp những giá trị khác nhau cho ψ. Chúng ta có thể (với sự bỏ qua ít bước trung gian không liên quan tới mục đích hiện tại) xem hàm ψ ở trên như cái có nghĩa là «tập hợp được xác định bởi ψ là một tập hợp đơn vị» hoặc «tập hợp được xác định bởi ψ là một thành viên của 1» (1 là một tập hợp của các tập hợp). Theo cách này, các mệnh đề trong đó 1 xuất hiện đạt một ý nghĩa được suy ra từ một dạng hằng lô-gic nào đó. Và đấy cũng là trường hợp của mọi hằng số toán học: tất cả đều là các hằng lô-gic học, hoặc các ký hiệu viết tắt mà việc sử dụng đầy đủ trong ngữ cảnh riêng được xác định bằng các hằng lô-gic.

Nhưng mặc dù mọi mệnh đề lô-gic (hoặc toán) học đều có thể được biểu đạt toàn bộ dưới dạng hằng lô-gic cùng với các biến, thì ngược lại, không đúng là mọi mệnh đề có thể được biểu đạt theo cách này đều là mệnh đề lô-gic học. Cho đến giờ, chúng ta đã tìm thấy một tiêu chí cần nhưng không phải là đủ cho các mệnh đề toán học. Chúng ta đã xác định đầy đủ đặc trưng của các ý tưởng nguyên thủy dựa trên đó mọi ý tưởng của toán học có thể được định nghĩa, nhưng không phải là của các mệnh đề nguyên thủy từ đấy mọi mệnh đề của toán học có thể được suy ra. Đây là một vấn đề khó khăn hơn, và câu trả lời đầy đủ cho nó vẫn chưa được biết là gì.

3. 2 – Tính hằng đúng (Tautology)

Chúng ta có thể lấy tiên đề về vô hạn (axiom of infinity) làm ví dụ về một mệnh đề, mặc dù có thể được phát biểu bằng thuật ngữ lô-gic, nhưng lại không thể được lô-gic học khẳng định là đúng. Mọi mệnh đề lô-gic học đều có một đặc trưng thường được biểu đạt bằng cách nói rằng chúng mang tính phân tích, hoặc những mệnh đề mâu thuẫn (contradictories) với chúng đều là tự mâu thuẫn. Tuy nhiên, lối xác định này là không thỏa đáng. Quy luật mâu thuẫn chỉ là một trong những mệnh đề lô-gic học; nó không có ưu thế đặc biệt nào; và cái bằng chứng rằng mệnh đề mâu thuẫn với một mệnh đề nào đó là tự mâu thuẫn có lẽ còn đòi hỏi các nguyên tắc suy luận khác nữa, ngoài quy luật mâu thuẫn. Dù sao, đặc trưng của các mệnh đề lô-gic mà chúng ta đang tìm kiếm là cái đặc điểm được cảm nhận và dự tính sẽ được định nghĩa bởi những người nói rằng nội dung của nó là tính được suy diễn ra từ quy luật mâu thuẫn. Đặc điểm này, mà hiện tại chúng ta có thể gọi là tính hằng đúng (tautology), rõ ràng không thuộc về khẳng định rằng số lượng cá thể trong vũ trụ là n, bất kể n có thể là con số nào. Nhưng cho sự đa dạng của các loại hình (hay hình thái = types)[10], thì phải có thể chứng minh một cách lô-gic rằng có những tập hợp có n số hạng, trong đó n là bất kỳ số nguyên hữu hạn nào; hoặc thậm chí rằng có những tập hợp ℵo (a-lep không) số hạng.

Tuy nhiên, nhờ các hình thái, những bằng chứng như chúng ta đã thấy trong Chương XIII[11] là ngụy lý. Để xác định xem liệu có tới n cá thể trên thế giới hay không, chúng ta bị bỏ mặc cho sự quan sát thực nghiệm. Trong số các thế giới «khả tồn», theo nghĩa của Leibniz, sẽ có những thế giới có một, hai, ba,… cá thể. Thậm chí dường như không có bất kỳ một thiết yếu lô-gic hợp lý nào rằng vì sao phải có dù chỉ một cá thể[12] — thật ra, vì sao phải có một thế giới nào hết. Nếu nó có giá trị, bằng chứng bản thể luận về sự tồn tại của Thượng Đế sẽ thiết lập sự thiết yếu lô-gic của ít nhất một cá thể. Nhưng nó thường được công nhận là không có giá trị, và trên thực tế, là đặt trên một quan điểm sai lầm về sự tồn tại — tức là nó không nhận ra rằng sự tồn tại chỉ có thể được khẳng định về một cái gì đó được mô tả, chứ không phải về một cái gì đó được đặt tên, và vì vậy lập luận từ «cái này là cái như-thế-như-thế (so-and-so)» và «cái như-thế-như-thế tồn tại» đến «cái này tồn tại» là vô nghĩa. Nếu bác bỏ luận cứ bản thể luận, chúng ta dường như bị buộc phải kết luận rằng sự tồn tại của một thế giới là một ngẫu nhiên — tức là nó không thiết yếu về mặt lô-gic học. Nếu đúng như vậy, không có nguyên tắc lô-gic học nào có thể khẳng định «sự tồn tại», ngoại trừ dưới một giả thuyết — tức là không có nguyên tắc nào có thể ở dạng «hàm mệnh đề cái như-thế-như-thế đôi khi là đúng». Khi chúng xảy ra trong lô-gic học, những mệnh đề có dạng này sẽ phải hiện ra dưới dạng giả thuyết hay hệ quả của giả thuyết, chứ không phải như mệnh đề được khẳng định trọn vẹn. Mọi mệnh đề lô-gic đã được khẳng định trọn vẹn đều giống như nó khẳng định rằng một hàm mệnh đề* nào đó là luôn luôn đúng. Ví dụ, điều luôn luôn đúng là, nếu p bao hàm q, và q bao hàm r, thì p bao hàm r, hoặc, nếu tất cả của α (α’s) là của β (β’s), và x là một α thì x là một β. Những mệnh đề như vậy có thể xảy ra trong lô-gic học, và chân lý của chúng độc lập với sự tồn tại của vũ trụ. Chúng ta có thể đặt để rằng, nếu không có vũ trụ, thì mọi mệnh đề tổng quát đều đúng; bởi vì cái mâu thuẫn của một mệnh đề tổng quát là một mệnh đề khẳng định sự tồn tại, và do đó, nó sẽ luôn luôn sai nếu không có vũ trụ nào tồn tại cả.

Các mệnh đề lô-gic học [đều được xây dựng] sao cho chúng có thể được biết một cách tiên nghiệm, không cần nghiên cứu thế giới hiện thực. Chúng ta chỉ biết từ một nghiên cứu các sự kiện thực nghiệm rằng Sōkratēs là một con người, nhưng chúng ta lại biết tính đúng đắn của tam đoạn luận ở dạng trừu tượng của nó (tức là khi nó được phát biểu dưới dạng các biến) mà không cần bất kỳ quy chiếu về kinh nghiệm nào. Đây là một đặc trưng, không phải của bản thân các mệnh đề lô-gic học, mà là của cách thức chúng ta biết chúng. Tuy nhiên, nó đặt ra câu hỏi về bản chất của chúng có thể là gì, vì có một số loại mệnh đề chúng ta khó mà giả định rằng ta có thể biết mà không cần tới kinh nghiệm.

Rõ ràng rằng định nghĩa của «lô-gic học» hoặc «toán học» phải được tìm kiếm bằng nỗ lực tìm ra một định nghĩa mới cho cái ý niệm cũ về những mệnh đề «phân tích». Mặc dù chúng ta không còn có thể hài lòng với định nghĩa về các mệnh đề lô-gic học như những mệnh đề tuân theo quy luật về mâu thuẫn, nhưng chúng ta có thể và vẫn phải thừa nhận rằng chúng là một tập hợp mệnh đề hoàn toàn khác với những mệnh đề mà chúng ta biết qua kinh nghiệm. Bởi tất cả chúng đều có cái đặc điểm mà lúc nãy ta nhất trí gọi là «hằng đúng». Điều này, kết hợp với sự kiện là chúng có thể được biểu đạt hoàn toàn bằng các thuật từ biến và hằng lô-gic (hằng lô-gic là một cái gì đó vẫn không đổi trong một mệnh đề, ngay cả khi mọi thành phần của nó đều thay đổi) — sẽ cho ta định nghĩa về lô-gic học hoặc toán học thuần túy. Hiện tại, tôi không biết định nghĩa «hằng đúng»[13] như thế nào. Đưa ra một định nghĩa có vẻ thoả đáng trong một lúc là điều dễ dàng; thế nhưng tôi không biết một định nghĩa nào khiến tôi cảm thấy thỏa mãn cả, mặc dù đã hoàn toàn quen thuộc với cái đặc tính được trông đợi của một định nghĩa. Do đó, tại điểm này, chúng ta tạm thời đạt đến biên giới của hiểu biết trong cuộc hành trình lùi vào các nền tảng lô-gic của toán học.

IV - HỆ THỐNG KÝ HIỆU LÔ-GIC LÀ TUYỆT ĐỐI CẦN THIẾT

Bây giờ chúng ta đã tới điểm kết thúc của phần giới thiệu tóm tắt của ta về triết lý toán học. Chúng ta không thể nào truyền đạt thoả đáng những ý tưởng liên quan tới chủ đề này chừng nào chúng ta còn kiêng sử dụng các ký hiệu lô-gic. Vì ngôn ngữ đời thường không có từ nào diễn đạt được, một cách vừa tự nhiên vừa chính xác điều chúng ta muốn diễn đạt, nên chừng nào chúng ta còn bám vào ngôn ngữ đời thường, thì còn phải ép ngôn từ vào những ý nghĩa bất thường; và sau một thời gian, nếu không phải là ngay từ đầu, chắc chắn người đọc sẽ rơi vào lại thói gắn cái ý nghĩa thông thường vào mỗi từ, rồi từ đó đi đến các ý niệm sai lầm về những gì được dự tính phát biểu. Hơn nữa, thứ ngữ pháp và cú pháp thông thường còn rất dễ gây hiểu lầm. Như trường hợp liên quan đến các con số chẳng hạn; về mặt ngữ pháp, «ten men» [10 người] có cùng dạng [trong tiếng Anh] với «white men» [người da trắng], do đó 10 có thể được cho là một hình dung từ để định tính «men». Trường hợp còn thường xảy ra nữa là mỗi khi các hàm mệnh đề có liên quan đặc biệt tới sự tồn tại và mô tả. Bởi vì ngôn ngữ dễ dẫn đến hiểu lầm, cũng như bởi vì nó tản mạn và không chính xác khi áp dụng vào lô-gic học (do nó không bao giờ được tạo ra cho mục đích này), hệ thống ký hiệu lô-gic là tuyệt đối cần thiết cho bất kỳ một sự xử lý chính xác hay xuyên suốt nào về đề tài của ta. Do đó, chúng tôi hy vọng rằng độc giả nào muốn quán triệt các nguyên lý toán học sẽ không chùn bước trước những vất vả đòi hỏi nhằm làm chủ được những ký hiệu — một sự khổ luyện thực ra là ít nhọc nhằn hơn người ta tưởng rất nhiều.  Như báo cáo gấp rút ở trên hẳn đã cho thấy, rõ ràng là có vô số vấn đề chưa được giải quyết về chủ đề này, và còn rất nhiều việc phải làm. Thế nhưng nếu quyển sách nhỏ này dẫn dắt được bất kỳ một sinh viên nào vào một công trình nghiên cứu nghiêm túc về lô-gic toán học, thì nó đã phục vụ tốt đẹp cho cái mục đích chính khiến nó được viết ra vậy.

Bertrand Russell,
Dẫn Vào Triết Lý Toán Học
(Introduction to Mathematical Philosophy,
London: Allen and Unwin, 1919,
Ch. XVIIII, tr. 194-206)