CHIỀU KÍCH THỜI GIAN
CỦA
TOÁN HỌC(1987)

Tác giả: Jean Dieudonné^[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Không chỉ Platōn và Aristotelēs mà cả mọi nhà toán học ngày nay đều chủ yếu giữ lại nơi những đối tượng toán học cái tính cách vượt thời gian của chúng: «các định lý của Eukleidēs ngày nay vẫn còn hiệu lực như 2300 năm trước». Như vậy, phải chăng là toán học không có một kích thước thời gian nào?  

Trong trích đoạn dưới đây, Jean Dieudonné khẳng định định rằng toán học vẫn có một tính thời gian, một nhịp tiến hoá nội tại, nhưng nó không dễ thấy, dễ tư duy như ta có thể tưởng một cách bộc phát.  

*

Ai cũng biết rằng, trong các khoa học tự nhiên, mọi quan sát và kinh nghiệm đều được tổ chức thành hệ thống giải thích (các «lý thuyết»); ở đó, từ một số nhỏ những thực thể mà kinh nghiệm có thể truy cập ít nhiều và các định luật được cho là mô tả hành vi của chúng – các định luật của Newton về «điểm vật chất (points matériels)»* trong cơ học chẳng hạn) – người ta phải suy diễn ra sự diễn tiến của những hiện tượng quan sát được một cách lô-gic. Sự phù hợp giữa lý thuyết và quan sát luôn luôn có những sai trật; nếu chúng là không quá quan trọng, người ta có thể đổ lỗi cho sự không hoàn hảo của các dụng cụ đo lường. Thế nhưng khi chúng trở nên lớn tới cái mức mà lý thuyết không còn có thể giải thích được nữa, thì chúng phải được sửa đổi, bằng cách đảo lộn cả các căn cứ lý thuyết nếu cần; mọi người đều biết rằng điều này từng xảy ra liên tục trong suốt 80 năm qua.

Chẳng có gì tương tự trong toán học. Khi sự chứng minh một định lý từ một hệ tiên đề đã được công nhận là đúng, thì định lý này không bao giờ được đặt thành nghi vấn nữa: các định lý của Eukleidēs ngày nay vẫn còn hiệu lực như 2300 năm trước. Phải chăng điều này có nghĩa là không có sự tiến hóa trong toán học? Tất cả những gì chúng tôi đã mô tả trong chương này và phần  trước đều chứng minh điều ngược lại. Tuy nhiên, sự tiến hóa của toán học không chỉ là tích lũy những định lý mới. Các định lý mới không chỉ được đặt chồng lên các định lý trước, mà còn hấp thu chúng, bằng cách biến chúng thành những «hệ luận», để rồi  cuối cùng, đôi khi còn không được đề cập tới một cách rõ ràng, trừ phi bởi các sử gia khoa học. Thậm chí, chính sự công thức hoá các định lý cũng có thể thay đổi hoàn toàn: ví dụ, sự mô tả các khối đa diện đều, đỉnh cao của hình học Hy Lạp, hiện được nêu ra như một mô tả về các nhóm con hữu hạn của nhóm các chuyển vị trong không gian 3 chiều (groupe des déplacements de l'espace à 3 dimensions). Nhiều biến đổi khác còn có vẻ lạ hơn nữa: sự thay thế một hệ tiên đề bằng một hệ «tương đương»^[2], trong đó một phát biểu, trước là định lý trong hệ thống cũ, nay trở thành tiên đề trong hệ thống mới, trong khi một trong các tiên đề cũ nay lại trở thành định lý^[3].

Như vậy, từ thế hệ này sang thế hệ tiếp theo, sự thay đổi trong quan niệm về toán học là một sự sắp xếp lại, dựa trên những thu đạt mới và quan hệ của chúng với các định lý cũ hơn. Từ thời Eukleidēs, sự thay đổi này luôn được cụ thể hóa trong loại tác phẩm trình bày; từ đầu thế kỷ 19, chủ yếu là trong loại sách giáo khoa cho học sinh ở các cấp bậc khác nhau. Chính bằng cách so sánh loại tác phẩm sau mà các sử gia khoa học có thể nhận ra cách suy nghĩ của những thành viên trong các cộng đồng các nhà toán học ở một thời điểm nhất định, chứ không chỉ của các thiên tài thống trị thời điểm này; một cách hầu như không thay đổi, tư duy của họ vượt qua và báo trước những gì sẽ trở nên phổ biến trong thế hệ tiếp theo. Hiện nay, các lý thuyết toán học được trình bày thông qua sự phân loại chúng, dựa trên các cấu trúc liên quan, một cách đại khái như chúng tôi đã làm ở phần trước. Nhưng cũng chỉ như thế từ năm mươi năm qua mà thôi, trong khi quan niệm về những cấu trúc này và sự sử dụng chúng đều trở thành phổ biến từ thế kỷ 19 và ở phần ba đầu của thế kỷ 20, như lịch sử đã cho thấy và như chúng tôi đã cố gắng chỉ ra.

Nếu toán học đã liên tục phát triển như vậy, từ thế kỷ 16 và ngày càng nhanh hơn, thì trên hết là nhờ vào các vấn đề đã dồn dập đặt ra cho các nhà toán học: Hilbert từng nói, «chừng nào một ngành khoa học còn cung cấp cho ta hàng loạt vấn đề, thì nó còn sống lâu chừng nấy. Sự thiếu hụt những vấn đề phải giải quyết đồng nghĩa với sự kết thúc của con đường phát triển cho nó».

Jean Dieudonné,
Để Vinh Danh Trí Tuệ Con Người –
Toán Học Ngày Nay
Pour l'honneur de l'esprit humain -
Les Mathématiques aujourd'hui,
Paris, Hachette, 1987, tr. 174-175.

^[1] Jean Alexandre Eugène Dieudonné (1906-1995): nhà toán học hình thức luận Pháp, thuộc nhóm Nicolas Bourbaki. Tác phẩm tiêu biểu: Cours de géométrie algébrique, (2 q., 1974) = History of Algebraic Geometry (1985); L’Abrégé d'histoire des mathématiques (chủ biên, 2 q., 1978); Éléments d'analyse (9 q., 1979-1982); Œuvres Mathématiques (2 q., 1981); Pour l'honneur de l'esprit humain - les mathématiques aujourd'hui (1987); A History of Algebraic and Differential Topology (1900-1960, 1988). NVK

^[2] Hai hệ thống tiên đề là tương đương nếu mọi định lý được rút ra từ hệ thống này cũng có thể được rút ra từ hệ thống kia.

^[3] Điều chắc chắn sẽ khiến các nhà toán học bảo thủ không quên phản đối.