CHÂN LÝ TOÁN HỌC
(1902)

Tác giả: Henri Poincaré^[1]
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Các tiên đề^[2] hình học không phải là những phán đoán tổng hợp tiên nghiệm^[3], cũng không phải là những sự kiện thực nghiệm. Chúng là những quy ước; trong số tất cả các quy ước có thể, lựa chọn của chúng ta được hướng dẫn bởi những sự kiện thực nghiệm; nhưng nó vẫn là tự do và chỉ bị giới hạn bởi sự thiết yếu phải tránh mọi mâu thuẫn. Do đó, các định đề có thể vẫn đúng một cách chặt chẽ, ngay cả khi các quy luật thực nghiệm xác định việc áp dụng chúng chỉ là xấp xỉ đúng. Nói cách khác, các tiên đề của hình học (tôi không nói về các tiên đề của số học) chỉ là những định nghĩa trá hình. 

Như vậy, chúng ta nên nghĩ gì về câu hỏi này: liệu hình học của Eukleidês có đúng không? Đây là một câu hỏi vô nghĩa.

Đặt vấn đề như thế chẳng khác gì hỏi: liệu hệ thống đo đạc bằng thước (mètre) là đúng, và các phép đo xưa là sai chăng? Hay liệu những tọa độ của Descartes là đúng và hệ thống tọa độ ở cực là sai chăng? Một thứ hình học không thể đúng hơn một thứ hình học khác; nó chỉ có thể thuận tiện^[4] hơn mà thôi. 

Thế nên hình học của Eukleidês là, và sẽ còn là, thuận tiện nhất.

1⁰ Bởi vì nó là đơn giản nhất; và lợi thế này không chỉ là kết quả của thói quen tinh thần của chúng ta, hoặc của một thứ trực quan  nào đó tôi không biết nhưng chúng ta vẫn có trực tiếp về không gian kiểu Eukleidês; tự thân nó là đơn giản nhất, giống như đa thức bậc nhất là đơn giản hơn đa thức bậc hai; các công thức của lượng giác cầu là phức tạp hơn so với lượng giác phẳng, và chúng vẫn luôn luôn xuất hiện như vậy ngay cả đối với một nhà phân tích không hiểu gì về ý nghĩa hình học của chúng.

2⁰ Bởi vì nó rất phù hợp với các đặc tính của những vật rắn trong tự nhiên, những cơ thể mà tay chân và mắt của chúng ta tiếp cận được, và sử dụng được để chế tạo các dụng cụ đo lường.

Henri Poincaré,
Khoa Học Và Giả Thuyết
(La Science et l’hypothèse,
Paris, Flammarion, 1909, tr. 66-67).

^[1] Henri Poincaré (1854-1912): nhà toán học, vật lý học, triết gia và kỹ sư người Pháp. Tác phẩm tiêu biểu về Triết lý Khoa học:  La Science et l'Hypothèse (1902), La Valeur de la Science (1905), Science et Méthode (1908), Savants et écrivains (1910), Ce que disent les choses (1911), Dernières Pensées (1913).

^[2] Ở đây «tiên đề» được dùng theo nghĩa rộng, bao gồm cả «axiome» lẫn «postulat», không như thường được phân biệt ngày nay.   

^[3] Thuật từ triết học của Kant. Phán đoán tổng hợp là loại phán đoán đến từ kinh nghiệm. Phán đoán tổng hợp tiên thiên là loại phán đoán có trước kinh nghiệm về mặt lô-gic, chẳng hạn như «mọi thay đổi đều có nguyên nhân» và các mệnh đề toán học.

^[4] Từ một quan điểm tương tự, một số tác giả không ngần ngại khẳng định rằng các nguyên lý khoa học đều là độc đoán. Trong bài Dẫn vào tác phẩm này, Poincaré phản bác quan điểm trên. «Hình học phát xuất từ kinh nghiệm chăng? Một cuộc tranh luận sâu xa hơn sẽ cho ta thấy là không. Do đó, chúng tôi kết luận rằng các nguyên lý của hình học chỉ là những quy ước; nhưng những quy ước này là không độc đoán, và nếu được chuyển sang một thế giới khác (mà tôi gọi là phi Eukleidês và đang tìm cách hình dung xem nó ra sao), thì chúng ta sẽ phải đi đến chỗ chấp nhận những quy ước khác».