| Đưa lên mạng ngày 15-05-2021 Từ khóa : Toán học – Bản chất ; Lô-gic luận – Toán học ; Phát minh luận – Toán học ; Hình thức luận – Toán học ; Trực giác luận – Toán học ; Kiến tạo luận – Toán học ; Platōn (Chủ thuyết) – Toán học; Không thể quyết định (Khái niệm) – Toán học; Không thể tính (Khái niệm) – Toán học ; Gödel (Định lý) ; Mã hoá (Khái niệm) ; Hàm bẫy (Khái niệm) – Toán học |
C2 |
BẢN CHẤT CỦA TOÁN HỌC
(1991)
Tác giả: John David Barrow[1]
Bản tiếng Pháp: Béatrice Propetto Marzi
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa
«Công thức "hai với hai là năm" không thiếu phần hấp dẫn».
DOSTOÏEVSKI
*
Để độc giả có thể theo dõi dễ dàng và lý thú hơn bài thuyết trình khá dài này của tác giả, chúng tôi đã phân đoạn, và thêm vào bản dịch dưới đây các tiểu tựa, và một số chú thích đặt ở cuối bài.
*
1 - TRI THỨC VÀ TRI THỨC TOÁN HỌC
Có một lô quan điểm triết học về bản chất tri thức và sự tiếp thu tri thức nói chung, và tri thức toán học nói riêng[2]. Hãy xem xét bốn quan điểm phổ biến nhất. Trước tiên là chủ nghĩa kinh nghiệm, theo đó mọi tri thức của chúng ta đều là những thu nhận từ kinh nghiệm; đối với những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm, không có những chân lý tất yếu. Tiếp đến là chủ nghĩa duy tâm, nó tưởng tượng ra một thế giới bên ngoài tinh thần của chúng ta, nơi mọi sự vật đều tồn tại độc lập với ta, và khẳng định rằng những tri thức mà ta có được đều là kết quả của một quá trình khám phá[3]. Sau đó là thao tác luận, gần đây hơn vì chỉ thịnh hành vào khúc quanh giữa hai thế kỷ 19-20: nó tìm cách xác định ý nghĩa của mọi sự vật bằng một chuỗi giai đoạn hay «thao tác» phải thực hiện để đo đạc chúng[4]. Cuối cùng, lô-gic luận truyền thống; nó có cùng xu hướng hạn chế, và tìm cách quy giản mọi tri thức của chúng ta vào một hệ thống tiên đề và quy tắc suy luận, đến nỗi nó được định nghĩa là tập hợp của mọi diễn dịch có thể suy ra từ mọi giả định ban đầu có thể được đề xuất, và chặt chẽ về mặt lô-gic.
2 – PHÁT MINH LUẬN TRONG TOÁN HỌC
Mỗi học thuyết lớn này đều tương ứng với một cách xác định và diễn giải toán học riêng. Các nhà kinh nghiệm chủ nghĩa ủng hộ phát minh luận: toán học là những phát minh của các nhà toán học không hơn không kém. Đây là những sản phẩm thuần túy của trí tuệ, nhằm vào các mục đích cụ thể thuộc loại thực tiễn hoặc thẩm mỹ. Những thực thể toán học như «tập hợp» hoặc «tam giác» sẽ không tồn tại nếu không có các nhà toán học. Con người phát minh ra các ngành toán học, chứ không phát hiện ra chúng. Theo các nhà kinh nghiệm, đấy chính là lý do khiến chúng ta thấy toán học là hữu ích như vậy... Có lẽ tính hữu ích của toán học chỉ phản ánh sự thiếu hiểu biết của ta về thế giới: đây là cái đối tượng mà các khía cạnh toán học là mặt duy nhất chúng ta đã tìm hiểu thành công.
Cách diễn giải này là phổ biến trong giới «người tiêu dùng» toán học – các nhà nghiên cứu khoa học xã hội hay kinh tế chẳng hạn – hơn là giữa các nhà toán học với nhau. Ảnh hưởng của nó được thấy rõ trên vô số sách được xuất bản dưới các tựa đề như Mô Hình Toán Học Của Các Hiện Tượng Âm Thanh, trong khi khoảng một trăm năm trước đây, người ta đã chọn một tựa đề quyết đoán và bao quát hơn như Lý Thuyết Âm Thanh. Sự nhấn mạnh trên vai trò kẻ can thiệp vào hiện tượng này của con người có liên quan chặt chẽ với cách tiếp cận của Kant*. Giả sử rằng có một hiện thực cuối cùng đi nữa, chúng ta cũng không thể nắm bắt nó mà không sàng lọc những quan sát và kinh nghiệm của ta qua các phạm trù trí tuệ nào đó, nhằm sắp xếp nó thành một trật tự có thể hiểu được đối với ta. Vì vậy, ngay cả khi chúng ta tin vào Vũ trụ toán học, điều này không có nghĩa rằng nó thực sự là như thế, giống như chúng ta cũng không thể khẳng định rằng bầu trời có màu hồng, lấy cớ rằng nó hiện ra với ta như thế, khi chúng ta đeo lên mắt cặp kính với tròng thủy tinh màu hồng.
Nhưng, nếu toán học chỉ là một phát minh của con người, và nếu các nhà khoa học sử dụng nó chỉ vì toán học là hữu ích và có sẵn, thì chúng ta đã phải phân biệt được nhiều đặc trưng văn hóa quan trọng trong lĩnh vực này. Thế nhưng, dù có những biến thể phong cách trong lối trình bày các ngành toán học, và nội dung nghiên cứu đó đây, chúng chỉ là những sắc thái hời hợt bên ngoài. Chúng ta đều biết rằng cùng một số định lý đã được phát hiện ra bởi các học giả sinh trưởng dưới nhiều vĩ độ khác nhau, ở các thời kỳ khác nhau của lịch sử, trong nhiều giới chính trị, kinh tế và văn hóa chẳng liên quan gì tới nhau, và điều này mâu thuẫn với quan điểm đơn giản trên. Hơn nữa, hiện tượng bất thường này – những phát hiện cùng một chân lý toán học, độc lập trong thời gian và không gian – còn cho thấy rõ tính đặc thù của thiên tài sáng tạo toán học so với âm nhạc hay nghệ thuật: định lý Pythagoras* chẳng hạn đã thoát thai từ trí tưởng tượng của hơn một học giả xuyên suốt lịch sử[5]. Sự kiện này chứng minh rằng nền tảng của toán học tồn tại thực sự bên ngoài trí tuệ của con người chứ không hề được định hình bởi phương thức tư duy của ta.
Những người theo lối tiếp cận với hiệu quả tối thiểu này của toán học có thể cố gắng đi xa hơn Kant một chút, bằng cách lập luận rằng, nếu quả thật là những phạm trù trí tuệ của ta có thanh lọc tri thức thô của chúng ta về thế giới đi nữa, thì dù sao chúng cũng chỉ làm biến dạng mọi vật một cách không đáng kể. Bởi vì những năng lực trí tuệ của ta là kết quả của một quá trình chọn lọc tự nhiên, và quá trình này phải chọn những biểu hiện về thế giới nào trung thực nhất với bản chất thực sự của nó. Chính đôi mắt của ta cho chúng ta biết về bản chất thực sự của ánh sáng, và chính đôi tai của ta cho chúng ta biết về bản chất thực sự của âm thanh. Nếu trí tuệ của ta đã mô hình hóa những biểu hiện rất xa cách với hiện thực, thì các biểu hiện này sẽ sống sót ngắn ngủi hơn trong thời gian, so với những biểu hiện trung thực. Rốt cuộc, lập luận trên không những chỉ thuyết phục chúng ta rằng những biến dạng trí tuệ do các phạm trù của Kant gây ra có thể đều là vô hại; mà nó còn giải thích nguồn gốc của các phạm trù ấy, và vì sao những cá nhân khác nhau lại cùng chia sẻ chúng. Nhưng vẫn có một cái gì đó không ổn trong lý thuyết này, nếu chúng ta muốn có một cách tiếp cận trực tiếp và hiện thực về vạn vật. Trong khi, một mặt, nó dường như đảm bảo với chúng ta rằng quan niệm của ta về thế giới, bao gồm cả các khía cạnh toán học của nó, là đủ chính xác để cho phép chúng ta tồn tại xuyên suốt quá trình tiến hóa, thì mặt khác, tại sao nó còn cho rằng các biểu hiện của ta về những đối tượng u mờ nhất trong Vũ trụ, những sự vật không có vai trò nào trong quá trình này, là không được quan niệm một cách đúng đắn? Trong khi điều thường thấy là chính trong các lĩnh vực khoa học xa cách nhất với các bộ môn đóng một vai trò quan trọng trong quá trình tiến hóa của chúng ta mà toán học lại tỏ ra là đáng tin cậy và hiệu quả nhất.
3 - HÌNH THỨC LUẬN TRONG TOÁN HỌC
a - Các nghịch lý lô-gic
Xuất phát từ quan điểm duy lô-gic2, hình thức luận trong toán học xuất hiện vào cuối thế kỷ XIX. Vào thời điểm này, các nhà toán học đã phải đối mặt với một loạt vấn đề gây bối rối, khiến cho những xác tín của họ bị lung lay: các nghịch lý lô-gic, như nghịch lý người thợ cắt tóc ở Seville («người thợ hớt tóc cắt tóc cho tất cả những ai không tự hớt tóc được, nhưng ai cắt tóc cho người thợ hớt tóc?»), như nghịch lý Epimenidēs, từng được sứ đồ Phao-lô nhắc tới ở Thư gửi Titus trong Kinh thánh («Một trong bọn họ, chính nhà tiên tri của họ, đã nói: tất cả dân Krētē đều là kẻ dối trá, lười biếng, là ác thú. Lời chứng này là đúng»), hoặc cặp nan đề về tập hợp tất cả các tập hợp (nó có phải là một thành phần của chính nó không?)… có nguy cơ phá đổ toàn bộ cơ đồ toán học. Ai có thể dự đoán nghịch lý nào sẽ xảy ra tiếp, và từ đâu?
b - David Hilbert
Đối mặt với những tình huống khó xử này, David Hilbert*, nhà toán học lỗi lạc nhất đương thời, đã đề nghị vất bỏ vĩnh viễn mọi bận tâm về ý nghĩa của toán học. Có việc đáng làm hơn: định nghĩa chúng như một khung công thức không hơn không kém mà chúng ta có thể lập ra từ bất kỳ một tập hợp tiên đề nguyên khởi nào, bằng những thao tác trên các ký hiệu thiết yếu, theo những quy tắc đã chấp thuận. Trong mắt ông, thủ tục này không thể tạo ra, hoặc chịu đựng một nghịch lý dù là nhỏ nhất nào. «Nội dung» của toán học là tấm thảm thêu vĩ đại của những liên thông lô-gic, kết nối với nhau thông qua sự vận dụng mọi tiên đề có thể, đặt ra ngay từ đầu, và sự tuân thủ cả một bộ quy tắc không mâu thuẫn với nhau. Đấy là hình thức luận, nói một cách ngắn gọn.
Tất nhiên, khả năng ứng dụng kỳ diệu của toán học vào Tự nhiên không khiến Hilbert và các môn đồ của ông quan tâm, nên hiển nhiên là họ cũng không tìm cách giải thích nó. Toán học không có ý nghĩa gì cả. Nhìn từ quan điểm này, chúng là phản đề của thần số học (numérology = numerologie)[6]: các tiên đề và luật lệ xử lý những ký hiệu tuyệt đối không liên quan gì tới hiện thực được quan sát. Các công thức tồn tại trên giấy, nhưng các thực thể toán học không có quyền là những sinh thể. Nhà toán học theo hình thức luận không hề tìm cách giải thích bản chất toán học của vật lý, cũng không tìm cách giải thích gì hơn tại sao những hiện tượng vật lý lại không tuân theo các luật chơi của bài belote hay bài poker.
Hilbert tin rằng, bởi định nghĩa, chiến lược này sẽ giải phóng toán học khỏi mọi vấn đề gai góc. Ông muốn chứng minh tính nhất quán đặc thù của toán học hơn là loại bỏ những nghịch lý lô-gic. Cho một mệnh đề bất kỳ nào, trên nguyên tắc chúng ta đều có thể biết rằng kết luận của nó là đúng hoặc sai, dựa vào tập hợp các giả định ban đầu, và bằng cách duyệt lại mạng lưới những liên thông lô-gic, từ các tiên đề tới mệnh đề đang xem xét. Hilbert và các môn đồ của ông bắt tay ngay vào việc, chắc chắn rằng họ có thể nhốt trong cái áo trói người điên này mọi hệ quả đã biết hoặc chưa biết của toán học. Theo bài phát biểu nổi tiếng của ông tại Đại Hội Quốc Tế Các Nhà Toán Học ở Bologna năm 1900, nơi ông đã trình bày ý kiến về những vấn đề toán học lớn nhất chưa được giải quyết, thì «Vấn Đề Thứ Hai» của ông không có gì khác hơn là «chứng minh sự chặt chẽ của số học».
Hilbert bắt đầu bằng nỗ lực đích thân giải quyết nó, theo một chiến lược rõ ràng. Khởi sự từ các hệ thống lô-gic rất đơn giản, đơn giản hơn nhiều so với khoa số học (như số học mà không có phép trừ chẳng hạn), ông đã chứng minh thành công rằng chúng là chặt chẽ, bằng cách chỉ ra rằng chúng bắt buộc phải chứa một mệnh đề không thể chứng minh được. Mệnh đề được ông dùng là «0 = 1», tại sao? Ông dựa trên luận điểm nổi tiếng theo đó nếu một hệ thống lô-gic chứa một mệnh đề sai (và do đó, là không chặt chẽ), thì chúng ta có thể sử dụng mệnh đề này để chứng minh bất kỳ một mệnh đề nào khác là đúng. Hệ quả của sự thể này là, nếu ta không thể chứng minh chân lý của một mệnh đề, thì sự không nhất quán lô-gic cũng không tồn tại. Khi Bertrand Russell* bênh vực luận điểm trên tại một buổi hội thảo công cộng, một thính giả bi quan đã thách thức ông chứng minh rằng kẻ đang cật vấn ông là Giáo Hoàng, nếu «hai với hai là năm». Ăn miếng, Bertrand Russell đã trả miếng tức thì: «nếu hai với hai là năm, thì bốn bằng năm, và nếu tôi lấy đi ba, thì một bằng hai. Như vậy, Giáo Hoàng với ông, nếu các ông là hai người, thì các ông cũng có thể là một người vậy».
Hilbert đã đi rất xa với phương pháp này; ông đã chứng minh sự nhất quán của các hệ thống tiên đề mỗi lúc một rộng lớn hơn, bao gồm cả hình học của Eukleidēs, đồng thời cũng nhân đó chứng minh rằng sự lựa chọn các tiên đề mà Eukleidēs đã thực hiện là tinh tường: tất cả đều được chứng minh là vừa chặt chẽ, vừa độc lập với nhau về mặt lô-gic. Hilbert chờ đợi chắc chắn có thể thêm vào đấy một vài tiên đề bổ sung cần thiết để mở rộng hệ thống, và gom vào đấy toàn bộ khoa số học, nhằm hoàn tất thoải mái cái nhiệm vụ mà ông đã tự đặt ra: toán học sẽ bị giam trong cái mạng nhện của sự chắc chắn. Lúc đó, coi như Hilbert đã chứng minh được rằng các tiên đề của số học là chặt chẽ, và một mệnh đề là đúng hoặc sai theo một thủ tục được xác định một lần và mãi mãi. Thật không may, chương trình của ông thất bại một cách hoàn toàn bất ngờ, hầu như chỉ hôm trước hôm sau. Năm 1931, Kurt Gödel*, một thanh niên mà Đại học Wien không biết, đã chứng minh rằng mục tiêu của Hilbert là không thể đạt được. Bất kể tập hợp tiên đề nào được chọn để bắt đầu, bất kể tập hợp quy tắc mạch lạc nào được sử dụng để thao tác trên các ký hiệu toán học thiết yếu, miễn là hệ thống đủ lớn để bao gồm cả khoa số học, sẽ luôn luôn có một mệnh đề có thể được biểu đạt trong ngôn ngữ của những ký hiệu này mà người ta không thể quyết định là đúng hoặc sai, thông qua sự sử dụng chính các tiên đề và các quy tắc ấy. Điều này có nghĩa rằng chân lý toán học vượt ra ngoài các tiên đề và quy tắc đặt ra. Thử cố gắng giải quyết vấn đề bằng cách thêm vào đấy một quy tắc hoặc tiên đề mới. Bạn sẽ chỉ làm phát sinh những mệnh đề mới, cũng là không thể giải quyết được. Thất bại và chiếu hết: phương pháp của Hilbert không «chạy». Nếu muốn hiểu toán học đến cùng, bạn phải ra khỏi toán học.
c - Kurt Gödel
Kurt Gödel đã thành công với chứng minh của ông nhờ khéo sử dụng lại một ý tưởng xa xưa của Leibniz. Ông đã tìm ra một cách thức duy nhất để liên kết các con số với các mệnh đề lô-gic, để bất kỳ mệnh đề nào liên quan tới toán học cũng có thể được biểu đạt bằng một con số (nay gọi là «con số Gödel»), và ngược lại, cho bất kỳ một con số nào, người ta cũng có thể tìm thấy một mệnh đề phù hợp với nó. Gödel phân biệt rõ ràng giữa các mệnh đề toán học (nghĩa là các mệnh đề của toán học) với các mệnh đề siêu toán học (métamathématique, tức là các mệnh đề liên quan tới toán học). Chẳng hạn như «2 + 2 = 4» là một mệnh đề toán học, trong khi «2 + 2 = 5 là sai» là một mệnh đề siêu toán học. Nhà khoa học trẻ người Áo vừa thiết lập xong một sự tương ứng trực tiếp giữa số học với các mệnh đề liên quan tới số học, bằng cách «gắn cho chúng những con số Gödel». Bây giờ hãy xem xét mệnh đề sau: «định lý có con số Gödel bằng X là không thể quyết định được». Con số Gödel của nó có thể tính được, hãy gọi nó là G chẳng hạn. Nếu bây giờ chúng ta thay thế giá trị của G bằng giá trị của X trong mệnh đề, ta sẽ có một định lý tự chứng minh rằng nó là không thể chứng minh được. Gödel đã khai thác sự tồn tại của các nghịch lý siêu toán học nổi tiếng trong lô-gic học để chứng minh rằng chúng ta không thể biết liệu số học là đúng hoặc sai bằng phương tiện là sự tương ứng trực tiếp giữa toán học với siêu toán học.
Nỗ lực nghiên cứu của Hilbert, và cùng với đó là hy vọng giam toán học trong thứ áo trói người điên của hình thức luận đã thất bại. Các tiên đề đủ rộng để bao gồm luôn cả số học nhất thiết là không đầy đủ; nói cách khác, có những phát biểu về số học mà ta không thể chứng minh được là đúng hoặc sai bằng sự sử dụng các tiên đề và định luật của diễn dịch số học. Sau đó, Gödel còn đi xa hơn nữa, bằng cách chứng minh rằng chúng ta không thể nào chứng minh sự nhất quán của riêng bất kỳ hệ thống lô-gic nào bao gồm số học. Nếu cho rằng một «tôn giáo» có thể được định nghĩa là «hệ thống các ý tưởng bao gồm những mệnh đề không thể chứng minh được», thì đúng là Gödel đã dạy ta rằng toán học không những chỉ là một tôn giáo, mà còn là cái tôn giáo duy nhất có khả năng đưa ra bằng chứng rằng nó là tôn giáo.
Chứng minh của Gödel (phát biểu không thể quyết định được là điều không thể tránh khỏi) đã ảnh hưởng lớn đến mọi lĩnh vực tư tưởng khác: chúng ta đã cảm nhận được là nó bao hàm cả những giới hạn của sự hiểu biết mà ta có khả năng đạt tới về Vũ trụ vật chất nhờ loại công cụ toán học; một số người lập luận rằng khả năng chúng ta «thấy» được tính chân lý của khẳng định do Gödel đưa ra có nghĩa rằng ta không thể nào quy giản trí tuệ con người vào một hệ thống hình thức, và những nỗ lực của một số người khăng khăng bảo vệ lý thuyết «thông minh nhân tạo», nhằm quy giản nó vào hoạt động của một thuật toán (algorithme)* duy nhất không bao giờ có thể thành công. Chúng ta cũng đã thấy sự xuất hiện của nhiều dạng định lý Gödel mới, liên kết nó với các ý niệm về phức tạp và ngẫu nhiên; chúng ta sẽ thảo luận về chúng sau.
Trước khi rời định lý Gödel, tôi muốn đưa ra ví dụ về một mệnh đề toán học, tuy cực kỳ đơn giản nhưng không thể quyết định được. Chúng ta nói rằng một tập hợp là lớn khi nó chứa nhiều con số có giá trị của phần tử nhỏ nhất trong tập hợp. Nếu một tập hợp là không lớn, ta sẽ nói rằng nó là nhỏ. Như vậy, tập hợp được tạo ra bởi {3, 6, 9, 46, 78} là lớn vì nó có hơn ba phần tử, trong khi {21, 23, 45, 100} là nhỏ vì nó có ít hơn hai mươi mốt phần tử. Bây giờ chúng ta lấy một chuỗi những con số đủ lớn và chia nó thành hai nhóm, bất kể như thế nào. Một nhóm sẽ luôn là tập hợp lớn, nhưng cái gì được bao gồm trong ý niệm «đủ lớn» vẫn là không thể giải quyết được.
Ngay cả khi ta không chứng minh được rằng các mục tiêu của hình thức luận là khó có thể đạt được, triết thuyết này sẽ nhanh chóng tự biểu lộ tính không thỏa đáng của nó, bởi vì bất kỳ mệnh đề nào cũng có thể là đúng trong một hệ thống tiên đề. Hơn nữa, nếu chúng ta mở rộng hệ thống bằng cách này hay cách khác, bằng cách thêm vào đấy vài tiên đề khác nữa chẳng hạn, thì chúng ta phải xem rằng mọi cấu trúc là một bộ phận của nó sẽ khác với các cấu trúc thuộc về hệ thống cũ. Từ quan điểm kỹ thuật, các tam giác của hệ thống mới không thể cùng là các tam giác của hệ thống cũ; tuy nhiên, ta vẫn có ấn tượng rằng chúng giống nhau. Không đề cập đến sự kiện là chúng ta đều biết rất rõ rằng hình thức luận chỉ quan tâm đến một phần trong công việc thực sự được các nhà toán học thực hiện. Toán học đã tiến triển và nảy nở suốt nhiều thiên niên kỷ trước khi luận thuyết này xuất hiện. Xét dưới mọi khía cạnh và trên quy mô lịch sử, hình thức luận có vẻ là một sự tự sửa của nhà kế toán.
d – Nhóm Bourbaki
Mặc dù điểm yếu của nó đã bị phát hiện nhanh chóng, hình thức luận không hoàn toàn biến mất. Nhiều nhà nghiên cứu về toán học thuần túy vẫn tung tăng tiếp bước trên con đường của mình, bất chấp thực tế là khoa số học (như bất kỳ thứ lý luận lô-gic nào khác thông thái hơn) có thể thực sự là không chặt chẽ, bởi vì điều ngược lại là không thể chứng minh được. Dù sao, khoa học này đã xoay sở không khó khăn cho đến nay, bằng cách vượt thoát mọi thảm họa. Các nhà số học thực hành vẫn tiếp tục hy vọng, trong sự an tâm hoàn toàn, rằng sẽ không điều gì có thể xảy đến gây xáo trộn cho những phép tính của họ.
Họ bình thản tới mức là một phiên bản mềm hơn của luận thuyết hình thức vẫn tiếp tục tung hoành cho đến nay. Đấy là một cách nhìn các ngành toán học với sự né tránh cuộc tranh luận triết học về ý nghĩa của chúng. Do đó, nó thu hút tất cả những người đặt một sự quan trọng lớn trên phần kỹ thuật của toán học, và nhất quyết phân biệt toán học thuần túy với toán học ứng dụng. Nhờ vậy, lá cờ mệt mỏi của hình thức luận vẫn từng có những giờ vinh quang của nó, qua một nhóm nhà toán học người Pháp được biết tới dưới bút danh «Nicolas Bourbaki»*; họ đã xuất bản suốt năm mươi năm qua khoảng ba mươi tác phẩm về những cấu trúc cơ bản của toán học, trong số đó hình học và số học là các sân chơi đặc biệt. Nhóm là hiện thân của những hy vọng cuối cùng nơi các nhà hình thức luận: chiến thắng của lý thuyết tiên đề, sự chặt chẽ và thanh lịch vô hồn; sự bác bỏ biểu đồ, ví dụ và cái cá biệt; sự đề cao cái trừu tượng và cái tổng quát. Nhóm Bourbaki không tìm cách phát hiện ra những kết quả mới. Điều họ muốn là mã hóa mọi thứ chúng ta đã biết theo một cách thức mới, cô đọng hơn, trừu tượng hơn. Các văn bản của họ là thứ sản phẩm hoàn hảo nhất, tinh tế nhất cho giới chuyên gia.
Jean Dieudonné*, thành viên sáng lập của nhóm, tin chắc rằng cách tiếp cận hình thức này thể hiện chính cái nét cốt tủy của khát vọng khoa học nơi bất kỳ một khoa học xứng đáng với danh hiệu nào, bởi vì «việc nghiên cứu toàn bộ một lớp vật thể giả định rằng những đặc điểm phân biệt các vật thể đó với nhau phải bị cố ý bỏ qua một bên, và chỉ có những đặc điểm chung của chúng là được tính đến mà thôi. Từ quan điểm này, điều phân biệt toán học [với các khoa học khác] là sự khăng khăng đi theo cái chương trình ấy đến những hệ quả cuối cùng của nó. Mọi đối tượng toán học phải được coi là đã hoàn toàn được xác định bởi các tiên đề được sử dụng trong lý thuyết liên quan tới chúng; hoặc, như Poincaré nói, các tiên đề là “định nghĩa trá hình” của những đối tượng mà chúng quan tâm nghiên cứu».
Dự án Bourbaki ra đời năm 1939 và nó có một lịch sử ngộ nghĩnh. Dường như chẳng ai biết vì sao các nhà toán học trẻ người Pháp đã lao vào cuộc phiêu lưu này lại chọn cái tên nhân vật bóng ma ấy. Họ được cho là đã lấy cảm hứng từ một sĩ quan lập dị trong quân đội Pháp, Tướng Charles Denis Sauter Bourbaki, người nổi bật trong cuộc chiến tranh Pháp-Đức [Phổ], thậm chí là người đã từ chối đề nghị ngồi lên ngai vàng Hy Lạp năm 1862. Mười năm sau, vận may quay lưng lại, ông ta bị giam ở Thụy Sĩ cùng với một đám lính, và đã tìm cách tự sát ở đây. Ông không thành công nhưng có tượng xây ở Nancy. Người ta biết rằng, khi bắt đầu sự nghiệp, các thành viên của nhóm đều từng qua lại trên các hành lang của đại học Lorraine[7]. Còn có nhiều giai thoại khác được kể về Bourbaki ngoài đời nữa. Có thực hay bịa đặt? Không chừng chính những kẻ tự xưng là Bourbaki đã phát minh ra chúng để nuôi dưỡng huyền thoại.
Bất chấp những giới hạn mà các phát hiện của Gödel áp đặt, nhóm Bourbaki vẫn tìm cách mã hóa và thống nhất phần «có thể quyết định được» của toán học, tập trung trên những cấu trúc đại số học do các bộ tiên đề và quy tắc đặc thù của mỗi ngành toán học khác nhau tạo ra. Quan tâm duy nhất của họ: sắp xếp các bộ phận khác nhau của tri thức toán học vào một cơ sở dữ liệu chung, để có thể nhận ra sự tương đương giữa những cấu trúc bị tách biệt một cách hời hợt, và khai thác chúng lại theo chiều ngang. Đối với nhóm Bourbaki, toán học hoàn toàn và đơn giản là tạo phẩm của những nhà toán học: «một sáng tạo của con người, không phải là một mặc khải từ thần linh», một sinh thể trên đà phát triển mà, nếu muốn tránh để nó chìm vào hỗn loạn, ta phải áp đặt lên nó một tổ chức.
Tuy nhiên, cái mục đích của nhóm là tổ chức toán học bên trong một mạng lưới lý luận lô-gic đẹp đẽ vẫn luôn luôn bị sự thiếu hụt bằng chứng về tính chặt chẽ của chính nó quấy ám. Họ đối mặt với bóng ma này bằng tinh thần thực dụng chủ nghĩa, bằng sự cầu viện tới kinh nghiệm, bằng niềm tin rằng thất bại trên sẽ chỉ có những hệ quả bên lề, không đáng kể. Chỉ cần chấp nhận sống nguy hiểm chút đỉnh là đủ: «Chúng tôi nghĩ rằng định mệnh của toán học là tiếp tục tồn tại, rằng các bộ phận cốt tủy của tòa lâu đài hùng vĩ này sẽ không bao giờ sụp đổ vì sự xuất hiện đột ngột của một mâu thuẫn; nhưng chúng tôi cũng không tự cho rằng ý kiến này dựa trên bất kỳ điều gì khác ngoài kinh nghiệm. Người ta sẽ cho như thế là quá ít. Dù sao, các nhà toán học đã không ngừng chỉnh sửa những sai lầm của bản thân họ suốt hai mươi lăm thế kỷ nay, và vẫn nhìn thấy khoa học của họ nhờ đó mà trở nên phong phú thêm, chứ không nghèo nàn đi; điều này cho họ cái quyền nhìn tới tương lai với sự thanh thản».
Trớ trêu thay, mặc dù nhóm Bourbaki muốn giải phóng toán học khỏi mọi ràng buộc với thế giới hiện thực, sự cầu viện tới thế giới hiện thực, như yếu tố gắn kết, lại khiến cho mỗi ngành toán học này (mà sự chặt chẽ riêng vốn không thể nào chứng minh được) trở thành một khoa học như mọi khoa học khác!
Các chuyên gia toán học ứng dụng thường biểu lộ một thái độ thù địch nhất định đối với triết lý Bourbaki. Họ có cảm tưởng rằng nó tách rời thực tiễn toán học khỏi các vấn đề vật lý và thế giới vật thể hiện thực, vốn là nguồn phát sinh của những ý tưởng mới. Dù sao, dự án Bourbaki đã có ảnh hưởng rất lớn trong những năm sáu mươi và bảy mươi [của thế kỷ XX], nó đã thúc đẩy thành công nỗ lực đưa các chương trình mới («toán học hiện đại») nhằm cải tạo việc học và dạy toán ở cấp trung học vào áp dụng tại nhiều nước chẳng hạn. Cách tiếp cận của nó đã hoàn toàn rời bỏ mô hình truyền thống vốn luôn luôn đặt dấu nhấn trên công đoạn xử lý và giải quyết những vấn đề toán học [cho và giải những bài toán các loại]. Các bộ môn thực dụng cũ như số học, hình học, các phép tính lãi suất, logarit… đều bị hạ bệ, nhường chỗ cho các tập hợp, các nhóm và những dạng toán học trừu tượng khác. Nhìn lại, trải nghiệm đã không mấy thuyết phục. Việc dạy và học toán hiện nay dường như đang trở lại với một lối tiếp cận ít trừu tượng hơn. «Toán học hiện đại» không hấp dẫn giới phụ huynh. Họ cảm thấy bức xúc vì con cái không hiểu cả phần cơ bản b.a-ba của toán học truyền thống. Hãy nói thêm rằng bản thân họ cũng chẳng hiểu người ta đang dạy con em mình cái gì, trong khi chính họ thì hoàn toàn không có khả năng giúp đỡ trong trường hợp chúng gặp khó khăn.
Mười năm trước, một cuộc điều tra đã tiết lộ rằng khoảng 30% nhà toán học thực hành đi theo hình thức luận kiểu Bourbaki. Tại sao có lựa chọn này? Không như người ta thường tin, phần lớn thực tiễn toán học đều cách xa loại công trình «khám phá»; ngược lại, mặt thống trị của nó là sự «tinh chỉnh», nghĩa là nỗ lực xử lý những chứng minh dài dòng và phức tạp sao cho chúng trở thành mỗi lúc một ngắn gọn hơn, đến mức ta có thể khẳng định rằng lập luận đưa ra là «hiển nhiên» hay «tầm thường», điều đối với các chuyên gia có nghĩa là họ không thể nào đẩy lý luận đi xa hơn nữa. Nói tóm lại, điều người ta làm chỉ là vượt qua – tựa như kẻ trượt tuyết lượn mốc – một chuỗi những phép tính đã được xác minh từ lâu. Để làm điều này, hành xử như người theo hình thức luận có xác suất là thực tiễn hơn, ngay cả khi vững chãi ngồi trên ghế bành một ngày Chúa Nhật và suy nghĩ lại, người ta có thể nhìn những gì mà một quan điểm giản lược như thế bao hàm với cặp mắt khác.
4 - TOÁN HỌC VÀ HIỆN THỰC
Hơn nữa, nhóm Bourbaki còn phải cố gắng trả lời câu hỏi do Einstein đặt ra: «Làm thế nào mà toán học, vốn xuất phát từ tư duy con người và độc lập với mọi kinh nghiệm, lại ứng dụng hoàn hảo được như thế vào những vật thể đối tượng trong hiện thực?»
Về phần ông, Einstein thừa hiểu rằng công việc thực sự của nhà toán học là làm sáng tỏ những cấu trúc cơ bản của lô-gic học. Khảo sát đến cùng, [toán học] sẽ bao gồm được mọi quan hệ mà lô-gic học xác định. Thế giới xung quanh chúng ta có thể được xem là sự đặc trưng hóa một phần nào đó trong số những cấu trúc này, đến mức chúng có thể được lấy làm ví dụ, và được mô hình hóa bởi các quan hệ đặc biệt kết nối những sự vật cụ thể lại với nhau. Các cấu trúc toán học hình thức không chuyên chở một ý nghĩa nào, người ta nói như vậy. Chúng ta có thể đảo ngược lập luận: thay vì nói rằng chúng không áp dụng vào bất cứ điều gì, ta có thể nói rằng chúng có thể áp dụng cho mọi loại hình hiện tượng. Như những thứ chúng ta quan sát trong Vũ trụ. Nhóm Bourbaki viết: «về vấn đề lớn là quan hệ giữa thế giới thực nghiệm với thế giới toán học, [chúng tôi thấy rằng] sự tương quan chặt chẽ giữa những hiện tượng thí nghiệm và các cấu trúc toán học dường như đã được những khám phá mới đây của vật lý học hiện đại xác nhận đầy đủ, một cách hết sức bất ngờ. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn không biết các lý do ẩn bên dưới sự kiện ấy – với điều kiện là chúng ta có thể cho cụm từ này một ý nghĩa – là gì [...]. Nhưng, một mặt, vật lý lượng tử đã chỉ ra rằng cái trực giác vĩ mô về hiện thực [«phát sinh từ các trực giác tức thì về không gian»] bao trùm cả những hiện tượng siêu nhỏ có bản chất hoàn toàn khác, và chúng lại được kết nối với các lĩnh vực toán học vốn chẳng ai nghĩ đến việc áp dụng vào các khoa học thực nghiệm cả. Mặt khác, phương pháp tiên đề đã chỉ ra rằng «những sự thật» từ đấy nó nuôi hy vọng phát triển toán học chỉ là các khía cạnh đặc biệt của những khái niệm tổng quát hơn mà ý nghĩa không giới hạn vào các lĩnh vực [toán học] này. Cuối cùng, hóa ra là [...] sự liên kết chặt chẽ trên (mà xưa kia chúng ta đã từng phải chiêm ngưỡng tính tất yếu nội bộ hài hòa của nó), chỉ đơn giản là một tiếp xúc ngẫu nhiên giữa hai môn học mà những liên thông thực sự còn được ẩn giấu sâu hơn là chúng ta tưởng rất nhiều trước kinh nghiệm».
a - Chủ thuyết Platōn trong toán học
Cách đơn giản nhất để nhìn vào toán học là khẳng định rằng thế giới là toán học, theo nghĩa sâu sắc nhất. Những hữu thể toán học trừu tượng tồn tại thực sự. Các nhà toán học khám phá ra chúng chứ họ không phát minh ra chúng. Con số «Pi» thực sự tồn tại đâu đó trên bầu trời. Dù có hoặc không có nhà toán học, toán học vẫn tồn tại. Đấy là một thứ ngôn ngữ phổ quát mà chúng ta có thể sử dụng để hiệp thông với những cư dân của các hành tinh khác, mà sự tiến hóa hoàn toàn độc lập với Trái Đất của chúng ta. Còn gì lý thú hơn, khi ghi nhận rằng cái ý tưởng này dường như nay đã được mặc thị chấp nhận, bởi mọi chuyên gia từng cống hiến hết mình cho nỗ lực truy tìm sự thông minh «ngoài Trái Đất» và không ngừng bắn lên không gian các thông điệp và thông tin toán học về loài người. Đối với nhà hiện thực chủ nghĩa, con số 7 là một ý thể (idéalité), một ý tưởng phi vật chất, và nó chỉ tự hiện thực hóa trong các trường hợp cụ thể như bảy chú lùn, bảy bà vợ, hay bảy anh em. Cách nhìn này, đôi khi ta gọi nó là chủ thuyết Platōn toán học, bởi vì nó bảo vệ ý tưởng về sự tồn tại của một thế giới khác được cấu tạo từ những hình thức (Idées) toán học hoàn hảo, chúng hình thành các ma trận (matrices)[8] từ đấy phát xuất thứ kinh nghiệm không hoàn hảo của chúng ta. Hơn nữa, nó còn cho rằng sự tinh luyện những dữ liệu cảm giác của chúng ta bằng trí tuệ sẽ không có kết quả nào trên bản chất toán học của hiện thực cả. Những ý kiến đại loại dường như hàm ý rằng Thượng Đế là một nhà toán học. Và, trên thực tế, nếu toàn bộ Vũ trụ vật chất có thể được mô tả bằng toán học (như vũ trụ học hiện đại giả định), thì hẳn phải có một thứ lô-gic phi vật chất bao la hơn cái Vũ trụ vật chất này.
Việc đưa một giải thích kiểu Platōn vào toán học đã tạo ra một thế song song đáng kinh ngạc giữa toán học với thần học. Toàn bộ kho vũ khí chữ nghĩa về các đặc trưng và thuộc tính của Thượng Đế mà các nhà thần học tân-Platōn dựng lên có thể được sử dụng gần như từng từ một để mô tả toán học. Chỉ cần thay thế từ «Thượng Đế» bằng từ «toán học» là đủ. Toán học của những người theo chủ thuyết Platōn vượt khỏi thế giới này: nó tồn tại trước khi thế giới vật chất được tạo lập, nó vẫn sẽ tồn tại sau khi thế giới vật chất biến mất. Khi các nhà triết học Cổ đại cố gắng tích hợp các khái niệm như quy luật của Tự nhiên vào khuôn khổ thần học về Vũ trụ, họ đã thành công không chút khó khăn. Họ thậm chí còn biết cả cách kết nối vào hệ thống của mình sự gián đoạn của quá trình diễn tiến theo luật tự nhiên nữa, dưới một hình thức hợp tình hợp cảnh là phép màu. Nhưng sự toàn năng của Thượng Đế không tương thích với toán học. Chúng ta có thể tưởng tượng một định luật của Tự nhiên bị gián đoạn hoặc bị tráo trở (vì những gì chúng ta quan sát không phải là bản thân các quy luật, mà là kết quả của chúng), nhưng liệu ta có thể trí trá với một định luật lô-gic hay toán học chăng? Nền thần học Trung cổ đã bị chia rẽ sâu sắc trên vấn đề sau: sự toàn năng của Thượng Đế có tương thích với cái thế giới này – Sáng tạo của Ngài – là nơi tồn tại những cái-không-thể trong toán học (impossibilités mathématiques) chăng? Spinoza tin rằng sự tương thích ấy tồn tại, song những kẻ bảo vệ ý tưởng rằng cả Thượng Đế cũng không có thứ tự do tuỳ tiện đó, vì nó không tồn tại, đều phản đối ông. Điều này gợi ý rằng sức mạnh linh thiêng cũng phải tuân theo các định luật của lô-gic và toán học. Hiện thực toán học của Platōn3 đối lập với sức mạnh thần linh toàn năng và có mặt khắp nơi. Chúng ta có thể tiếp tục cuộc tranh luận này và khám phá thêm các khía cạnh khác của cặp nan đề, chẳng hạn như nan đề cái ác (đối lập với cái thiện) hoặc nan đề mặc khải (đối lập với lý tính của sự khám phá toán học), nhưng điều đó sẽ đưa chúng ta đi quá xa.
Những người theo chủ nghĩa hiện thực xem hiệu quả đáng kinh ngạc của toán học trong sự mô tả Thiên nhiên là bằng chứng rõ rệt rằng lý thuyết của họ là đúng. Hầu hết các nhà khoa học và toán học đều thực hiện công việc hàng ngày của họ trong văn phòng, như thể chủ nghĩa hiện thực là đúng, trong khi họ không bao giờ có đủ can đảm để quyết liệt bảo vệ nó nơi công cộng. Tuy nhiên, được quan niệm như trên, chủ nghĩa hiện thực biểu lộ một khía cạnh thực sự phi thường. Nếu ta có thể tưởng tượng ra sự tồn tại của một dự án toán học nằm ở nền tảng của sự phát triển Vũ trụ, nơi những người quan sát như chúng ta sống (và điều này, tất nhiên, chúng ta tưởng tượng được dễ dàng), thì lúc đó một kịch bản tương tự cũng có thể tồn tại khắp Vũ trụ: phải có những người quan sát thông minh ở nơi khác nữa.
Chủ thuyết Platōn cũng không phải là không có mâu thuẫn. Một số điểm vẫn còn mơ hồ. Cái thế giới của những trừu tượng toán học khác mà chúng ta sẽ phải khám phá ra kia, nó hiện ở đâu? Làm thế nào để liên lạc với nó3? Nếu các thực thể toán học thực sự tồn tại bên kia thế giới vật chất của những sự vật cụ thể mà chúng ta có kinh nghiệm trực tiếp, thì lúc đó dường như cách duy nhất để ta có thể tiếp xúc với nó là một thứ kinh nghiệm huyền bí, và nó sẽ giống một diễn biến tâm linh hơn là một tiếp cận khoa học. Chúng ta không thể xử lý việc tiếp thu tri thức toán học như ta xử lý các dạng tri thức khác về thế giới cụ thể. Những tri thức sau, ta xem chúng như đầy ý nghĩa, vì cái lý do dễ hiểu là ta tình cờ tác động trở lại với các đối tượng chúng ta hiểu biết được, trong khi ta không thể nào tiếp xúc với các thực thể toán học một cách ngẫu nhiên. Một thái độ kiểu Platōn đặt ra cho chúng ta nhiều vấn đề lớn trên bình diện siêu hình. Gödel, người khăng khăng bảo vệ nó tin vào sự tồn tại của một hiện thực phi vật chất, cho rằng ta có thể thiết lập với nó «các loại hình quan hệ khác». Roger Penrose* xem định lý Gödel – cái tự chứng minh rằng nó là không thể chứng minh được – như một dấu hiệu của ý thức con người. Ý tưởng thật kỳ quái! Bởi điều này có nghĩa rằng người nào không hiểu ý nghĩa và chân lý của định lý Gödel sẽ là, một cách nào đấy, không hoàn toàn có ý thức. Lúc đó, liệu chúng ta phải nghĩ sao về một đứa trẻ hay kẻ không phải là nhà toán học?
b - Kiến tạo luận (constructivistes)
Phản ứng cuối cùng trước cơn lốc của sự bất định đã đổ xuống sau những nghịch lý lô-gic, và đã làm nảy sinh chủ nghĩa hình thức vào đầu thế kỷ XX, là kiến tạo luận – phiên bản toán học của luận thuyết thao tác4. Theo Léopold Kronecker*, một trong những nhà sáng lập ra nó, đầu tiên ta phải nhận thức rằng «Thượng Đế đã tạo ra các số nguyên, phần còn lại là do con người làm ra». Ý của ông là chúng ta chỉ nên chấp nhận như khởi điểm những ý niệm toán học đơn giản nhất – các số nguyên 1, 2, 3, 4... và phép tính – rồi từng bước lần lượt suy ra mọi thứ khác từ những ý niệm trực quan hiển nhiên này. Khi lấy vị trí bảo thủ ấy, các nhà kiến tạo luận dự tính tránh đụng độ và phải đối phó với loại thực thể như các tập hợp vô hạn, bởi chẳng những người ta không thể có kinh nghiệm cụ thể nào về chúng, mà hơn nữa, chúng còn có những thuộc tính không liên quan gì tới trực giác (vô hạn trừ vô hạn vẫn có thể bằng vô hạn, như chúng ta có thể thấy bằng cách trừ tất cả loại số chẵn khỏi tất cả số tự nhiên: vẫn còn lại tất cả loại số lẻ). Đây là lý do khiến kiến tạo luận cũng được gọi là trực giác luận, nhằm nhấn mạnh rằng nó dựa trên cái nguyên tắc cơ bản là trực giác của con người.
Đối với các nhà kiến tạo luận, toán học chỉ là một chuỗi mệnh đề có thể được xây dựng dựa trên một số hữu hạn những bước suy diễn từ các số tự nhiên. «Ý nghĩa» của một công thức toán học chẳng là gì khác hơn cái chuỗi hữu hạn những phép tính được thực hiện để xây dựng nó. Cách nhìn này có vẻ như vô hại. Trong thực tế, nó kéo theo những hệ quả khủng khiếp: nó tạo ra một phạm trù mới trong mệnh đề toán học. Bởi vì mỗi mệnh đề bây giờ có thể được gán cho ba giá trị: đúng, sai, không đúng cũng không sai (hoặc «không thể quyết định được»). Mọi mệnh đề mà chân lý không thể được xác định bằng một lượng hữu hạn các giai đoạn xây dựng đều là còn trong trạng thái lấp lửng. Như hệ quả chính của một lựa chọn như vậy, một mệnh đề không còn là chỉ hoặc đúng, hoặc sai nữa. Ba khả năng này nhắc chúng ta về các phán quyết mà một tòa án ở Scotland có thể đưa ra: «có tội», «vô tội», và «miễn tội vì thiếu bằng chứng» (trong trường hợp này bị cáo có thể bị xử lại về cùng một tội) trong khi các Tòa án ở Anh hay Mỹ chỉ có thể tuyên án «có tội» hoặc «vô tội» mà thôi.
Các nhà toán học trước kiến tạo luận đã tìm ra nhiều cách khác nhau để chứng minh tính chân lý của những công thức không đáp ứng được tiêu chí về số lượng hữu hạn của những bước triển khai. Phương pháp được ưa thích nhất của người Hy Lạp trong thời Cổ đại là phép phản chứng (reductio ad absurdum = quy giản thành điều phi lý). Để chứng minh rằng điều gì đó là sai, ta giả định ngược lại ngay từ đầu rằng nó là đúng, rồi khởi đi từ giả thuyết này để tiến tới một kết quả vô lý (như 2 = 1 chẳng hạn), và điều phi lý này tự nó sẽ là bằng chứng rằng giả thuyết ấy là sai. Phương pháp này dựa trên sự chấp nhận ý tưởng rằng một đề xuất chỉ có thể là đúng hoặc sai. Nhưng, theo các quy tắc của luận thuyết kiến tạo, đây không phải là một cách tiếp cận có giá trị, bởi vì một mệnh đề chỉ được cho là đúng nếu nó có thể được chứng minh rõ ràng qua một số bước diễn dịch hữu hạn. Do đó, toàn bộ các định lý toán học chứng minh sự tồn tại của một cái gì đó mà không xây dựng được minh bạch một ví dụ rõ ràng, đều không thể được coi là có giá trị.
Nếu các nhà vật lý chấp nhận nó, thứ triết lý toán học này sẽ có những hệ quả thú vị mặc dù còn chưa được thăm dò hết, bởi vì nhiều lý thuyết cơ bản – như thuyết tương đối rộng của Einstein* hay cơ học lượng tử của Niels Bohr*– chủ yếu đều dựa trên loại lý luận phi kiến tạo luận để mô tả các thuộc tính của Vũ trụ. Đối với hầu hết các nhà toán học, chiến lược này là khá bội bạc; như thể ta phải đấu vật với một cánh tay bị trói sau lưng. Các định lý nổi tiếng của Stephen Hawking* và Roger Penrose* về điểm kỳ dị vũ trụ[9] cũng thuộc về cùng một giuộc: chúng cung cấp những điều kiện đủ để chứng minh sự bắt đầu tồn tại của thời gian, bằng cách rút ra một mâu thuẫn từ giả thuyết rằng sự bắt đầu của thời gian ấy là không tồn tại. Nhưng bởi vì các định lý này không xây dựng rõ ràng [qua một số bước diễn dịch hữu hạn] điểm kỳ dị khởi đầu đó, nên chúng đều là không «đúng» theo các nhà kiến tạo luận toán học (bất chấp sự kiện là thuyết tương đối rộng cho phép rút ra nhiều giải pháp vũ trụ học chính xác khác nhau nhưng đều có một điểm kỳ dị mang tính xây dựng liên quan tới một thời điểm chính xác và hữu hạn trong quá khứ).
Nói chung, tất cả các nhà vật lý học đều sử dụng những lập luận của kiến tạo luận toán học mà không suy nghĩ cặn kẽ. Lĩnh vực vật lý duy nhất mà người ta áp dụng cho phương pháp này và cái lô-gic ba giá trị của nó những giới hạn là trong đo lường lượng tử. Nó đã được thông qua như một thỏa hiệp để giải quyết các vấn đề do nghịch lý Einstein-Podolsky-Rosen[10] đưa ra. Dù sao, ngay cả khi cách nhìn của kiến tạo luận là chính xác theo quan điểm hình thức đi nữa, nó cũng cản trở nỗ lực của chúng ta nhằm phát triển một lý thuyết về Cái Tổng Thể[11].
c - Luitzen Brouwer
Các nhóm nhỏ bảo vệ nhiệt tình luận thuyết kiến tạo vẫn luôn luôn tồn tại. Người bênh vực nó giáo điều nhất là nhà toán học nổi tiếng người Hà Lan Luitzen Brouwer*, thành viên ban biên tập của chuyên san Đức Mathematische Annalen (rất có uy quyền vào thời điểm đó): ông ta đã quyết chiến với các đối thủ của mình bằng cách từ chối đăng bất cứ bài viết nào không tuân theo các nguyên tắc của kiến tạo luận, nghĩa là bàn về các vấn đề vô hạn hoặc lập luận bằng phép phản chứng. Thái độ này đã gây ra sự đối nghịch nhất định trong giới toán học, nhất là giữa Brouwer với Hilbert, tổng biên tập tờ Annalen. Hilbert vốn đã chẳng ưa gì Brouwer, một cá nhân tính nết bất thường và kỳ cục, còn cảm thấy bị đe dọa bởi sự phổ biến của thứ triết lý mới của ông ta. Hilbert lo ngại cho tương lai của toán học, sợ nó sẽ quay lùi lại những năm đen tối. Bệnh nặng và cảm thấy đã sắp đến lúc mất, đồng thời muốn bảo vệ vừa tương lai của tập san, vừa môn học của mình, ông ta quyết định chia tay với Brouwer, người đang có ảnh hưởng mạnh tới các cộng tác viên của tờ báo. Ở hồi kết của một cuộc tranh cãi dai dẳng và quyết liệt, tuy có vẻ nực cười nhìn từ bên ngoài (Einstein, một thành viên có ảnh hưởng khác trong ban biên tập, gọi đấy là «cuộc đại chiến giữa phe chuột và phe ếch»), Hilbert chiến thắng: ban biên tập bị giải tán và được tái lập mà không có Brouwer, kẻ đã phải rút lui khỏi thế giới các nhà toán học thực hành một thời gian, để chỉ trở lại vào cuối đời mà tay vẫn luôn luôn phất lá cờ trực giác luận. Hoang tưởng và yếm thế, ông ta đã sống và chết trong cô độc và đầy cay đắng.
Một khi được suy ngẫm chín chắn, luận thuyết kiến tạo có vẻ rất kỳ lạ. Theo kiểu lấy con người làm trung tâm, nó định nghĩa toán học như tổng số những diễn dịch được rút ra từ một số bước hữu hạn dựa trên các cơ sở của trực giác con người: những số tự nhiên. Tất cả những gì xảy ra trước quá trình triển khai này đều không phải là toán học. Ngoài lập trường chống lại Kopernik*, chúng ta đều thấy rằng cái ý tưởng có một «trực giác» phổ quát về những số tự nhiên là không có cơ sở lịch sử nào cả. Nhà kiến tạo luận sẽ không bao giờ có thể nói liệu trực giác của tôi là giống hệt của bạn hay không, liệu nó đã từng tiến hoá nơi con người và sẽ còn tiếp tục tiến hoá thêm trong tương lai hay không. Những thứ toán học dựa trên trực giác này là một hiện tượng lặp đi lặp lại, và biến thiên theo thời gian cùng nhân cách của người xây dựng chúng, như thể chúng là một ngành của tâm lý học. Tại sao bắt đầu từ những số tự nhiên? Thế nào là một giai đoạn kiến tạo? Vì sao một số công trình cho thấy là chúng hữu ích và thích nghi vào thế giới hiện thực hơn những công trình khác? Vì sao ta không thể có trực giác về những hình thức khác nhau của vô cực? Phải giải thích sự hữu dụng của các khái niệm phi kiến tạo trong nghiên cứu về thế giới vật lý như thế nào? Dù sao, trực giác của con người vẫn quan niệm được những tập hợp vô hạn.
Ít nhất, kiến tạo luận cũng dạy chúng ta được chút gì đó về tính toán học của Tự nhiên. Chúng ta nhận thấy rằng nó đã kế thừa những công trình nghiên cứu hình thức luận của Hilbert, sau khi ông này bị khám phá của Gödel đánh bại. Chúng ta đã hiểu rằng sẽ luôn luôn có những mệnh đề mà ta không thể chứng minh được là đúng hoặc sai. Nhưng phải nói sao về tất cả những mệnh đề mà tính chân lý có thể được quyết định bằng sự sử dụng các phương pháp toán học truyền thống? Các nhà kiến tạo luận có thể chứng minh được bao nhiêu mệnh đề trong số đó? Liệu chúng ta sẽ biết cách chế tạo, ít ra là trên nguyên tắc, một máy tính có năng lực đọc những dữ liệu được cung cấp ở đầu vào, hiển thị trạng thái ban đầu của máy, đồng thời sở hữu một bộ xử lý có khả năng xác định trạng thái tiếp theo, và sử dụng nó sau đó để quyết định xem một mệnh đề đã cho là đúng hoặc sai, sau một thời gian hữu hạn chăng? Liệu chúng ta sẽ biết cách xây dựng một «cỗ máy» có khả năng phán quyết thay cho ta xem các mệnh đề quyết định được của toán học là đúng hoặc sai chăng?
d - Cái tính được và cái không thể tính được
Trái với mong đợi của nhiều nhà toán học, câu trả lời lại là không. Cả Alan Turing* ở Cambridge, Emil Post* và Alonzo Church* ở Princeton đều đã chỉ ra rằng có những mệnh đề mà chúng ta có thể mất một lượng thời gian điên rồ, vô tận, trước khi chứng minh được tính chân lý của chúng. Chúng thực sự là sâu sắc hơn thứ lô-gic của lối tính toán bằng những giai đoạn kế tiếp nhau. Cái máy tính lý tưởng mà chúng ta vừa mô tả được gọi là máy Turing; nó là cái không thể vượt qua[12] trong tin học. Nó có một năng lực vô song để giải quyết các vấn đề.
Những thao tác toán học mà máy Turing không thể hoàn tất trong một thời gian hữu hạn được gọi là những cái không thể tính được. (incalculables). Chúng ta biết không ít ví dụ trong số đó, và chính sự tồn tại của chúng còn đặt ra nhiều vấn đề thú vị trong vật lý học nữa. Chúng ta không biết liệu Thiên nhiên có chứa trong xương thịt của nó những sự vật không thể tính được hay không. Nếu hoạt động của trí tuệ con người hay hiện tượng ý thức chẳng hạn cũng bao hàm những thao tác không thể tính được, thì chúng ta sẽ không bao giờ thực hiện trí tuệ nhân tạo thành công, nghĩa là chế tạo được một máy tính có khả năng bắt chước trí tuệ con người với tất cả sự phức tạp của nó. Trong chừng mức nào giới hạn này sẽ tác động tới lĩnh vực thực tiễn? Tất nhiên, điều này tùy thuộc vào tầm quan trọng của các khía cạnh không thể tính được cho hoạt động của não bộ con người. Rất ít xác xuất là chúng ta có khả năng giải quyết một vấn đề như vậy vào lúc này.
Hãy quay lại bí ẩn nêu lên từ đầu: «Liệu chúng ta có thể áp dụng toán học vào Tự nhiên chăng?», và thử đặt lại vấn đề trong ngôn từ của sự tính được hay không. Nếu một thao tác là tính được, thì điều này có nghĩa là chúng ta có thể chế tạo ra một dụng cụ mà cách hành xử bắt chước được thao tác đó. Đây là trường hợp của quả lắc và xung động điện; mặt ngược lại, những cơ chế vật lý như các dụng cụ trên có thể được mô tả chính xác bằng các thao tác toán học tính được. Sự kiện toán học mô tả được Thiên nhiên một cách tốt đẹp tương đương với sự kiện là các thao tác toán học đơn giản nhất, chẳng hạn như phép cộng và phép nhân, và các thao tác phức tạp hơn được sử dụng với hiệu quả cao như vậy trong khoa học, đều là các hàm có thể tính được. Nếu không (nếu chúng là không thể tính được), thì chúng không thể tương đương với bất kỳ quá trình tự nhiên nào, và chúng ta sẽ không phải ngẩn người ra trước lợi ích thực tiễn của toán học như vậy. Ngay cả khi chúng ta công nhận rằng những quá trình này có phẩm chất toán học, ta cũng sẽ không xem toán học là một thứ ngôn ngữ quý giá như vậy để dự đoán hay mô tả sự vận động của thế giới.
Còn gì lý thú hơn là tự hỏi liệu các định luật tự nhiên có chứa hay không những yếu tố không tính được. Nỗ lực tạo ra một lý thuyết lượng tử có thể áp dụng cho toàn bộ Vũ trụ đã mở hé cho ta thấy khả năng này. Thực sự có những thuộc tính của Vũ trụ có tiềm năng quan sát được, và chúng được xác định bởi các tổng vô hạn của những số hạng* (termes) xét toàn bộ là không thể tính được. Không thể đưa chúng vào một phép tính có tính hệ thống, và có khả năng tự động áp dụng cùng những nguyên lý. Để tính được, mỗi yếu tố đòi hỏi sự sử dụng các nguyên lý mới và khác nhau về phẩm chất. Thật không may, chúng ta không biết liệu ta có thể xác định, bằng cách khác nhưng cũng có thể tính được, giá trị của những yếu tố quan sát được này hay không.
e – Sự mã hoá và loại hàm bẫy
Chúng ta đã lập ra một sự phân biệt giữa các thao tác toán học có thể tính được, và các thao tác không thể tính được. Nhưng trong cuộc sống hàng ngày, biết rằng chúng là tính được cũng chẳng có một ích lợi lớn nào, nếu cái chương trình [tin học] chịu trách nhiệm thực hiện những phép tính cần thiết phải sử dụng một triệu năm để kết thúc những vất vả của nó. Thế giới có thể mang tính toán học, và tràn đầy những hàm có thể tính được, sâu sắc, và thông thái. Nhưng ích lợi gì, nếu các máy tính của ta phải mất hàng nghìn năm mới tính ra chúng? Trên thực tế, thế giới hiện đại của ta đang khai thác rộng khắp sự tồn tại của những bài toán rất «khó» giải quyết này. Những mật mã phức tạp nhất, được sử dụng nhằm bảo vệ các loại bí mật quân sự hoặc thương mại, đều dựa trên loại hệ thống mã hóa bất khả xâm phạm trong thực tế này, tuy chúng không thực sự là như thế trên nguyên tắc, bởi vì những máy tính nhanh nhất hiện nay cũng phải bỏ ra hàng nghìn năm để thử tìm cách giải mã chúng. Tất nhiên, lúc đó người ta đã đổi mã từ lâu.
Những mật mã như vậy sử dụng các phép toán gọi là những hàm bẫy, cực kỳ dễ sử dụng theo một nghĩa nào đó nhưng hầu như không thể đảo ngược thứ tự, giống như rơi vào bẫy thì rất dễ, nhưng không dễ gì thoát ra khỏi rọ. Lấy hai số nguyên tố (prime numbers)* rất lớn, mỗi số được tạo thành từ một trăm chữ số, rồi nhân chúng với nhau chẳng hạn. Một máy tính có thể thực hiện thao tác này trong một giây. Nhưng bất kể kết quả là gì, hãy cho một máy tính con số hai trăm chữ số đó, và bảo cỗ máy tìm ra hai số nguyên tố chia hết cho nó: có đủ khó khăn để hoạt động cả một đời. Ví dụ này cho thấy rõ ràng rằng Vũ trụ có thể được đặt dưới một mã toán học mà sự mã hóa phụ thuộc vào các định luật Tự nhiên. Chúng ta thậm chí còn có thể khám phá ra mã này bằng cách chỉ sử dụng các nguyên lý đối xứng (symmetry), mạch lạc (coherence) và đơn giản (simplicity), nhưng thực ra chúng ta sẽ khó áp dụng nó để giải mã ngược lại bản chất thực sự của mọi vật, từ phần ngoại hiện được mã hoá của chúng.
Dưới đây là một minh họa về các chức năng bẫy. Ví dụ đơn giản như lời chào. Tôi muốn gửi cho bạn một tin nhắn bí mật. Để «mã hóa» nó, tôi sử dụng một phương pháp khá thô. Tôi đặt tin nhắn trong một hộp kim loại đóng kín có ổ khóa. Sự «giải mã» nó là mở ổ khóa. Nhưng làm thế nào tôi có thể gửi tin nhắn cho bạn mà không gửi cho bạn chìa khóa, sợ nó có thể rơi vào tay một kẻ xấu đang chực sẵn để đánh cắp nó? Đây có vẻ như điều đã thấy trước là không thể làm được. Vậy mà tôi vẫn sẽ khóa cái hộp lại và gửi nó cho bạn, nhưng vẫn giữ chiếc chìa khóa của tôi trong tay. Bạn chỉ cần đặt thêm một ổ khóa khác lên hộp, khóa nó lại nhưng vẫn giữ chìa khóa của bạn, và gửi lại cho tôi cái hộp với hai móc khóa. Lúc bấy giờ, tôi mới mở ổ khóa tôi đã đặt bằng chiếc chìa của mình, rồi gửi trả bạn cái hộp. Sau đó, bạn có thể mở ổ khóa bạn đặt bằng chìa khóa của mình, và cuối cùng nhận thông báo. Không ai trong chúng ta cần tới chìa khóa của người khác!
Trong cuộc sống hàng ngày, người ta dùng loại mã bằng số thay vì các ổ khóa. Chúng ta phải tiến hành như thế nào? Bạn mã hóa tin nhắn của mình bằng một con số N (được tạo ra từ một chuỗi số bất kỳ), và nhân nó với con số nguyên tố bí mật p (cũng dài chừng vài ba số) của bạn. Bạn nhận được con số Np. Bạn chuyển nó cho tôi, tôi sẽ nhân Np với số nguyên tố bí mật q của tôi, để có kết quả là Npq. Nếu tôi gửi Npq cho bạn, bạn có thể chia nó cho p để lấy Nq, rồi bạn gửi nó lại cho tôi. Tôi sẽ chia Nq cho q, để rút ra N, tức là tin nhắn. Tôi không cần biết p bất cứ lúc nào, và bạn cũng không cần biết q bất kỳ lúc nào. Cứ cho rằng một ai đó chặn được các số mà chúng ta lần hồi chuyển cho nhau, hắn sẽ có trước mắt một con số gồm nhiều chữ số, mà hắn ta sẽ phải tìm ra các số chia (ước số) ban đầu. Can đảm lên, bởi nó có thể cần tới hàng chục, thậm chí hàng trăm năm! Để đối phó với mọi tình huống, chúng ta thỉnh thoảng còn có thể thay đổi các con số p và q của mình. Một ý tưởng hết sức đơn giản và tuyệt vời, chỉ mới được sử dụng khoảng từ hai mươi năm nay.
John David Barrow,
Vì Sao Thế Giới Là Toán Học?,
Thuyết trình tại Đại học Milan, 11-13/12/1991,
(Perché il mondo è matematico? (1992) =
Pourquoi le monde est-il mathématique?
Paris, O. Jacob, 1996, tr. 59-90).
[1] John David Barrow (1952-2020): nhà vật lý, vũ trụ và toán học người Anh. Tác phẩm chính: The Left Hand Of Creation (với Joseph Silk, 1983); The Anthropic Cosmological Principle (với Frank Tipler, 1985); The World Within The World (1988, 2000); Theories of everything (1991); Pi In The Sky (1992); Perché il mondo è matematico? (1992); The Origin Of The Universe (1994); The Artful Universe (1995); Impossibility (1998); Between Inner Space and Outer Space (1999); The Book of Nothing (2001); The Constants Of Nature (2002); Material Content of the Universe (?); Science and Ultimate Reality (với P. C. W. Davies, Charles L. Harper, 2004); The Artful Universe expanded (2005); The infinite book (2005); New Theories of Everything (2007); Cosmic Imagery (2008); The Book of Universes (2011); 100 Essential Things You Didn't Know You Didn't Know (2008); Mathletics (2012); 100 Essential Things You Didn't Know You Didn't Know About Maths and the Arts (2014).
[2] Xem thêm, trên cùng trang mục này, chú thích thứ 2 trong bài: Max Black, Ba Luận Thuyết Về Bản Chất Của Toán Học.
[3] Trên cơ sở này, Platōn vẫn được xem là triết gia duy tâm chủ nghĩa, vì ông cho rằng có một thế giới những Ý thể tồn tại trên cõi siêu nhiên ở đâu đó. Nhưng cũng trên cơ sở này, khi ông cho rằng những ý tưởng toán học (hình tròn tuyệt đối, sự bình đẳng tuyệt đối chẳng hạn) tồn tại thực sự ở một nơi nào đấy, mà con người chỉ phát hiện («hồi tưởng» lại) chứ không hề phát minh ra, ông được các nhà toán học xem là thuộc về trường phái hiện thực (ngoài đoạn 4a ở trên, xem thêm, trên cùng trang mục này, các trích đoạn liên quan của Platōn và Albert Lautman (Chủ Thuyết Hiện Thực Toán Học) khi có thể tham khảo. Sự bất nhất nói trên còn cho thấy việc gắn lên tư tưởng của một tác giả nào đó cái nhãn hiệu «chủ nghĩa» này hay «chủ thuyết» nọ không phải là một thẩm định luôn luôn hiển nhiên, thích đáng.
[4] Xem các bài về định nghĩa và luận thuyết thao tác trên trang mục Triết Lý Các Khoa Học, khi có thể tham khảo.
[5] Một số bằng chứng cho thấy các nhà toán học ở các khu vực Lưỡng Hà, Ấn Độ và Trung Quốc đều từng biết định lý này, và từng đưa ra các chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt. Mặt khác, định lý này còn có thể được chứng minh – trường hợp có lẽ là nhiều nhất trong các định lý toán học – bằng nhiều cách (như hình học và đại số học, một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi), và tổng quát hóa cũng bằng nhiều cách khác nhau (cho các tam giác bất kỳ, cho không gian nhiều chiều, cho các không gian phi Eukleides).
[6] Thần số (thần số học) là sự tin tưởng (môn học) đặt cơ sở trên một quan hệ thần bí giữa các chữ số hay những con số với các biến cố, sự kiện. Tư tưởng thần số thường liên quan tới lĩnh vực siêu linh, thuật chiêm tinh và các nghệ thuật bói toán tương tự.
[7] Đại học Lorraine nằm trong thành phố Nancy. Thành hình như một cơ sở giáo dục cấp trung và đại học của dòng Tên tại Pont-à-Mousson (tỉnh Lorraine) năm 1572, thiết chế rơi vào tay Vương Quốc Pháp năm 1766, và được Vua Louis XV dời về Nancy năm 1769. Đại học này có một lịch sử khá sóng gió, do cách mạng (nhiều lần bị dẹp bỏ rồi tái lập) và chiến tranh. Năm 1968 Đại học bị chia làm nhiều mảng; từ năm 2005 các Đại học Nancy I, Nancy II và Đại học Paul-Verlaine ở Metz bắt đầu một tiến trình hợp nhất để trở thành Đại học Lorraine hiện nay từ ngày 0l/01/2012.
[8] Do từ La-tinh matrix, với nghĩa là «mẹ» (nguyên nghĩa là «sinh vật mang bầu», «đàn bà sinh con», rồi «tử cung», dạ con». Ngày nay, matrix được dùng với nghĩa tổng quát để chỉ một tập hợp những điều kiện, trong đó một sự vật tăng trưởng và phát triển, hoặc có ảnh hưởng tới cách thức nó phát triển và thay đổi (Liên Âu với các quốc gia Âu châu chẳng hạn). Mặt khác, trong toán học, matrix được dùng để chỉ một nhóm các số, ký hiệu, hoặc biểu thức được sắp xếp thành hàng và cột trong một hình chữ nhật (2 hàng và 3 cột chẳng hạn, mỗi ô tạo ra từ một hàng và một cột được gọi là một phần tử hoặc mục); mỗi ma trận như vậy tuân theo các quy tắc đã định trước, và được dùng để giải quyết một vấn đề hoặc đo lường một đại lượng. Các phép toán ma trận được dùng rộng rãi trong nhiều ngành toán học.
[9] Thuật từ thuộc vũ trụ học và nguồn gốc vũ trụ học. Một số định nghĩa thấy trên Internet: 1) Điểm kỳ dị là nơi mà mật độ, áp suất, nhiệt độ ... đều là vô hạn, và các định luật vật lý đều vô hiệu. Chúng nằm trong lòng các lỗ đen và ở khoảnh khoắc 0 của vũ trụ (vụ Nổ Lớn = Big Bang). Ở gần điểm kỳ dị này, mọi động thái của vũ trụ trở nên hỗn loạn. 2) Điểm kỳ dị không-thời-gian (space-time singularity) hay điểm kỳ dị hấp dẫn (gravitational singularity) là các vùng không gian nơi mật độ vật chất hay độ cong của không-thời-gian (spacetime curvature) là vô cùng. Ở điểm kỳ dị này, các định luật khoa học và khả năng tiên đoán tương lai đều không còn hiệu lực. 3) Điểm kỳ dị không-thời-gian là nơi các đại lượng dùng để đo trường hấp dẫn (gravitational field) đều trở nên vô hạn, theo nghĩa là không còn phụ thuộc vào hệ tọa độ. Nói cách khác, đấy là điểm nơi mọi quy luật vật lý không còn có thể phân biệt được với nhau, nơi không gian và thời gian không còn là những hiện thực tương quan với nhau, mà hợp nhất một cách không thể phân biệt được và không còn ý nghĩa độc lập nào nữa cả.
[10] Quy chiếu về cuộc tranh luận chung quanh thí nghiệm do Albert Einstein, Boris Podolsky, và Nathan Rosen tưởng tượng ra trong bài «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?» (Physical Review, 47 (10), 777-780, 1935 – 1 trong 10 bài báo ảnh hưởng nhất mà chuyên san trên từng đăng), với kết luận rằng sự mô tả hiện thực vật lý trong cơ học lượng tử là không đầy đủ, vì có những «yếu tố hiện thực (elements of reality)» mà lý thuyết lượng tử, như được trình bày trong diễn giải Copenhagen (Niels Bohr, Werner Heisenberg), không bao gồm, và cho rằng ta phải có khả năng xây dựng một học thuyết bao gồm cả chúng nữa. Niels Bohr đã phản ứng tức thì bằng một bài báo mang cùng tựa, đăng cùng năm, trên cùng chuyên san. Trao đổi này là chương đầu trong một cuộc tranh luận dai dẳng giữa Bohr và Einstein về bản chất nền tảng của hiện thực, và ảnh hưởng sâu sắc trên suốt quá trình diễn giải cơ học lượng tử.
[11] «Lý thuyết về Cái Tổng Thể» hay «Lý thuyết về Mọi thứ (TOE = Theory Of Everything)» hay «Lý thuyết Tối hậu»… là giả thuyết về một khung vật lý lý thuyết duy nhất có khả năng bao gồm, giải thích, và kết nối chặt chẽ mọi khía cạnh vật chất của vũ trụ thành một lý thuyết tổng quát trọn vẹn.
[12] «Nec plus ultra». Thành ngữ La-tinh này có nguồn gốc từ thần thoại Hy Lạp và liên quan tới kỳ công thứ 10 của Heraklēs (La-tinh: Hercules). Trên đường về, để lưu lại vết tích rằng mình đã từng đến tận nơi có vẻ là điểm cuối cùng của thế giới văn minh đương thời – một dải đất lúc đó còn nối liền vùng phía Nam của Tây Ban Nha với phần phía Bắc của châu Phi – Hêraklēs đập mạnh tay xuống đất, mặt đất rung chuyển mạnh, mở ra một eo biển (eo biển Gibraltar) tách rời 2 lục địa Âu – Phi, và làm trồi lên 2 dãy núi (gọi là 2 cột trụ Heraklēs), một ở Âu châu (Rock of Gibraltar) và một bên Phi châu (djebel Musa, Maroc). Heraklēs viết lên đấy cụm từ «nec plus ultra» («giới hạn không thể vượt qua»), từ đó, 2 cột trụ Heraklēs được xem là biểu trưng của đường ranh giữa 2 thế giới – cái đã biết (Âu châu, Địa Trung Hải), và cái xa lạ (Phi châu, Đại Tây Dương). Từ thế kỷ XVIII, thành ngữ vượt khỏi lĩnh vực địa lý để tiến dần về ý niệm hoàn hảo: cái không thể vượt qua nhất thiết phải là cái tốt nhất, cái hoàn hảo!