TÓM LƯỢC BA LUẬN THUYẾT
VỀ
BẢN CHẤT CỦA TOÁN HỌC
(1933)

Tác giả: Max Black*
Người dịch: Nguyễn Văn Khoa

*

Trước khi trình bày chi tiết về ba trường phái chính trong triết lý toán học, bắt đầu bằng một mô tả ngắn gọn về những đặc trưng  tổng quát của cả ba luận thuyết mà chúng ta sẽ quan tâm,  và tương quan giữa chúng với nhau^[1], có thể sẽ hướng dẫn người đọc không quen thuộc với chủ đề này theo dõi dễ dàng hơn.

Ba trường phái tư tưởng được lựa chọn vì tầm quan trọng và tầm ảnh hưởng của chúng thường được phân biệt với các tên là Lô-gic Luận (Logistic), Hình Thức Luận (Formalistic), và Trực Giác Luận (Intuitionist)^[2], với các nhà diễn giải đương thời nổi tiếng nhất của chúng là Bertrand Russell*, David Hilbert* và Luitzen Brouwer*, kể theo thứ tự. Các học thuyết của họ khác nhau nhiều, về phương pháp tiếp cận vấn đề cũng như trong những kết luận.

1 – Lô-gic Luận

Luận điểm lô-gic luận: toán học thuần túy là một nhánh của lô-gic học.

Chương trình của luận thuyết lô-gic đã được Bertrand Russell diễn đạt như sau: «Toán học thuần túy là tập hợp của tất cả những mệnh đề có dạng 'p ⊃ q' trong đó p và q là các mệnh đề chứa một hoặc nhiều biến số (variables), cùng là một (hoặc các) biến số ấy trong cả hai mệnh đề, và cả p lẫn q đều không chứa bất kỳ một hằng số (constants) nào, ngoại trừ các hằng số lô-gic học (và, hoặc, v. v...). Và hằng số lô-gic học đều là loại ý niệm có thể được định nghĩa bằng các thuật từ sau: bao hàm, quan hệ của một hạn(g) từ (term)^[3] với một tập hợp mà nó là thành viên, ý niệm sao cho (such that), ý niệm quan hệ (relation), và các ý niệm khác nữa, như có thể được bao gồm trong ý niệm tổng quát về các mệnh đề thuộc dạng trên. Ngoài những ý niệm toán học này ra, còn có một ý niệm không thuộc vào thành phần các mệnh đề ta đang xem xét, cụ thể là ý niệm chân lý» (Principia Mathematica, tr. 3). Nói cách khác, những mệnh đề toán học đều là loại mệnh đề lô-gic, chúng ghi nhận các quan hệ giữa những mệnh đề mà nội dung đã được trừu tượng hóa, để chỉ còn lại cái hình thức của chúng mà thôi, rồi được hiển thị bằng các hằng số lô-gic học (và, hoặc, v. v...).

Theo quan điểm này, mọi khái niệm toán học như chữ số, hệ số vi phân (differential coefficient), v. v…, phải có khả năng được định nghĩa bằng các khái niệm lô-gic học, toán học thuần túy trở thành một nhánh của lô-gic học, và sự khác biệt giữa hai môn học chỉ là một tiện lợi thực tiễn. Phần lớn công trình của Russell và đồng nghiệp là Giáo sư Whitehead*, cũng như của những người đi trước vĩ đại của ông là Frege* và Peano*, đều được dành cho nỗ lực thực hiện việc quy giản những khái niệm toán học vào các khái niệm lô-gic học. Thành tựu đỉnh cao của trường phái này là quyển Principia Mathematica của Russell và Whitehead, một công trình đồ sộ, với mức phức tạp gây bối rối nhưng có vẻ đẹp lô-gic tuyệt vời, mà nội dung là nhằm quy giản trong chi tiết toàn bộ toán học thuần túy vào lô-gic học.

2 – Hình Thức Luận

Luận điểm chính: toán học thuần túy là khoa học về cấu trúc hình thức của những ký hiệu.

Khác với luận thuyết trước, các nhà hình thức luận phủ nhận rằng những khái niệm toán học có thể được quy giản vào loại khái niệm lô-gic học; họ khẳng định rằng nhiều khó khăn lô-gic ngổn ngang trên bước đường của lô-gic luận chẳng liên quan gì tới toán học cả. Họ thấy toán học là khoa học về cấu trúc của những vật thể. Chữ số là đặc tính cấu trúc đơn giản nhất của vật thể, và bản thân chúng cũng là những vật thể với các đặc tính mới. Nhà toán học chỉ có thể nghiên cứu các đặc tính của những vật thể bằng cách tạo ra một hệ thống ký hiệu đứng thay cho chúng, và bằng cách cho phép và thừa nhận các tính năng không liên quan [tới nội dung của chúng] nơi những ký hiệu mà ông ta sử dụng. Miễn là có được một hệ thống ký hiệu thích hợp, ông không cần phải lo nghĩ gì nữa về ý nghĩa của những vật thể, bởi vì ông ta có thể nhìn thấy các đặc trưng cấu trúc mà ông quan tâm nơi chúng ở ngay bản thân những ký hiệu ấy. Do đó, nhà hình thức chủ nghĩa đặt dấu nhấn trên tầm quan trọng của các đặc điểm hình thức của ngôn ngữ ký hiệu mà nhà toán học sử dụng, thứ đặc điểm hình thức hoàn toàn độc lập với ý nghĩa mà ông có thể muốn gán cho chúng. Điều này không có nghĩa rằng toán học là một trò chơi vô nghĩa như các nhà hình thức luận thường bị cáo buộc đã khẳng định; họ chỉ đơn giản nói rằng toán học liên quan tới các đặc tính cấu trúc của những ký hiệu, và qua đó của mọi vật thể, chứ không lệ thuộc vào ý nghĩa của chúng. Quan điểm này từng tỏ ra rất hiệu quả trong hình học, và sự thành công của nó trong lĩnh vực này đã giải thích phần lớn sự ưa chuộng rộng rãi đối với nó. Tất nhiên, so với các nhà lô-gic luận, các nhà hình thức luận đã đặt một giá trị lớn hơn trên một hệ thống ký hiệu chặt chẽ; họ cho rằng những mâu thuẫn trong toán học thuần túy chỉ có thể được gỡ bỏ, bằng cách cung cấp một hệ thống ký hiệu đã được chứng minh là hiển nhiên tới mức dốt đến đâu cũng hiểu được (foolproof). Bản thân sự chứng minh cũng không thể được thực hiện xuyên suốt bằng sự sử dụng những ký hiệu độc lập với ý nghĩa của chúng, bởi vì đến lượt các ký hiệu này cũng sẽ phải được biện minh, và như vậy tới vô cùng (ad infinitum); thế nhưng các nhà hình thức luận chỉ đòi hỏi một nỗ lực chứng minh, về cơ bản, không sử dụng một tư duy nào phức tạp hơn cái quá trình qua đó chúng ta thấy rằng hai với hai đơn vị là bốn đơn vị. Hầu hết những công trình gần đây của các nhà hình thức luận đều nhằm tìm ra một bằng cớ sơ đẳng về giá trị của toán học từ góc độ này. Cho đến nay, họ chỉ thành công một phần nào, và khả năng thực hiện một cách nhất quán hay không chương trình của họ còn là đối tượng của nhiều nghi ngờ.

3 – Trực Giác Luận

Luận điểm chính: toán học thuần túy được đặt trên một trực giác cơ bản về khả năng xây dựng một chuỗi số vô hạn.

Nếu các nhà hình thức luận nhấn mạnh trên hệ thống ký hiệu, thì các nhà trực giác luận đặt dấu nhấn trên tư tưởng. Đối với họ, khối chân lý toán học không phải là thứ cấu trúc khách quan vượt thời gian như nó hiện ra trong các triết thuyết của hình thức luận và lô-gic luận. Như một khối tri thức, toán học phát triển, có nghĩa rằng nó là một chuỗi chuyển biến, một quá trình không bao giờ có thể được ký hiệu hóa hoàn toàn, hơn nữa cách nhìn này thậm chí có lẽ còn là trừu tượng một cách nguy hiểm. Toán học phải được xem là một hoạt động xã hội qua đó các cá nhân tổ chức những hiện tượng chung quanh dựa trên khía cạnh tổng quát nhất của chúng, nhằm thỏa mãn nhu cầu của họ. Do đó, sở hữu một hệ thống ký hiệu biểu trưng cho những tư tưởng toán học là không đủ; tư tưởng toán học độc lập với thứ ngôn ngữ cụ thể được sử dụng để diễn đạt chúng. Điều hoàn toàn thiết yếu là ngôn ngữ ấy phải thể hiện được tư tưởng một cách có ý nghĩa. Chúng ta phải có khả năng dừng lại ở mỗi điểm trong toán học, và nhìn thấy hiện trạng của vấn đề được diễn tả một cách cũng rõ ràng như ta có thể thấy được sự kiện là chúng ta luôn luôn có thể thêm vào một đống đồ vật, cho dù nó đã nhiều bao nhiêu, một đơn vị rồi lại một đơn vị nữa, trong một tiến trình không bao giờ kết thúc. Thứ tri thức về cái quá trình đặc biệt này (khả năng thêm vào một chuỗi vật thể bằng cách cứ bổ sung thêm mãi mãi những đơn vị từ bên ngoài), cái quá trình mà chúng ta có thể diễn đạt thay thế, với độ chính xác đầy đủ cho mục đích hiện tại, bằng tri ​​thức trực tiếp về chuỗi số tự nhiên, Brouwer gọi nó là «trực giác cơ bản (Urintuition)»; đây là khái niệm cơ bản và không thể giản lược trong triết thuyết của ông.

Sự nhấn mạnh của Brouwer trên điều kiện thiết yếu là các mệnh đề toán học phải có ý nghĩa «trực quan» rõ ràng đã khiến ông bác bỏ loại khẳng định tổng quát như «Có một số nguyên tố (prime number)^[4] mà tổng các chữ số (digits) của nó chia hết cho 1004», trên cơ sở là chúng không đúng mà cũng chẳng sai, nhưng vô nghĩa. Ông khẳng định rằng các mệnh đề tổng quát chỉ có ý nghĩa khi nào chúng ta biết một kiến trúc (construction) xác định qua đó chúng có thể được kiểm tra xem là đúng hoặc sai trên lý thuyết (dù không nhất thiết trong thực tế), với sự chắc chắn là có được câu trả lời. Vì vậy, nếu và chỉ khi nào một số nguyên tố mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 1004 được tìm thấy, thì khẳng định được đưa ra ở trên (hoặc chỉ khẳng định nào sẽ được biểu đạt lúc đó bằng cùng những từ ấy) mới có ý nghĩa. Nếu các mệnh đề tổng quát mà chân lý có thể được kiểm tra bằng một thủ tục đã biết được gọi là những mệnh đề kiến tạo (constructive)^[5], thì có thể dễ dàng thấy rằng vế mâu thuẫn (contradictory) với một mệnh đề kiến tạo là không kiến tạo nói chung. Học thuyết này thường bị hiểu lầm như có nghĩa là nó phủ nhận định luật loại trừ giá trị giữa (law of the excluded middle), theo đó một mệnh đề chỉ có thể là đúng hoặc sai.

4 - Quan hệ qua lại của ba trường phái

Nếu muốn đạt được thành công cuối cùng, các chương trình lô-gic luận và hình thức luận phải vượt qua được những khó khăn rất lớn. Bởi vì sự quy giản toán học vào lô-gic học đã gãy đổ tại một điểm mấu chốt, và một bằng chứng hình thức chủ nghĩa hoàn chỉnh về tính nhất quán của toán học có nhiều xác suất là sẽ không thể được tìm ra. Thế nhưng các học thuyết trực giác luận lại đòi hỏi phần lớn toán học phải được viết lại, loại bỏ những bằng chứng đã được chấp nhận từ lâu và bỏ rơi nhiều mảng của toán học thuần túy, đồng thời đưa một sự phức tạp dễ gây nản lòng và hầu như không thể thực hiện được vào các lĩnh vực đang cần được khuôn mẫu lại.

Nói ngắn gọn, sự tương tác của ba trào lưu trên là như sau: luận điểm lô-gic luận về sự thiết yếu phải ký hiệu hóa bằng chứng toán học đã được các nhà hình thức luận chấp nhận hoàn toàn, và tu chỉnh ở nhiều mặt kỹ thuật quan trọng, bởi hiện nay họ đều sử dụng thứ ký hiệu lô-gic chủ yếu được phát triển bởi phái lô-gic luận. Còn các nhà trực giác luận thì, nói chung, họ đã bị ảnh hưởng tiêu cực hơn, và có phản ứng xa rời chủ nghĩa tượng trưng do các  thất bại của phái lô-gic luận, nhưng rồi chính bản thân họ cũng đang bắt đầu tạo ra một thứ lô-gic trực quan hình thức. Mặt khác, những nghiên cứu của các nhà hình thức luận, đặc biệt là về hình học, đã làm suy yếu quan niệm của Kant về không gian, và qua sự tiết lộ nhân đó một số thiếu sót kỹ thuật trong các hệ thống lô-gic luận, đã phá hủy phần lớn cái được gọi là quan điểm thần học về toán học, với niềm tin không giới hạn của nó vào các thực thể siêu việt như số siêu hạn (transfinite numbers)^[6]. Đồng thời, ảnh hưởng của trực giác luận trên các hệ thống khác cũng rất sâu đậm; nó có thể được nhìn thấy rõ ràng, qua sự kiện là Hilbert từng nhấn mạnh trên sự cần thiết của các bằng chứng phi hình thức hữu hạn về tính nhất quán của toán học, tức là những gì ngày nay được gọi là các bằng chứng siêu toán học (metamathematical)*, và trong các yêu cầu hiện đại về sự phát triển mang tính kiến tạo⁵ của những đề tài như lý thuyết về các tập hợp điểm (sets of points).

Ba loại hình lý thuyết này biến đổi và truyền cảm hứng cho tất cả phần còn lại, tuy nhiên các thỏa hiệp chiết trung vẫn còn là phổ biến. Bằng cách sử dụng một số, trong vô số sửa đổi mà một lượng lớn các nhà bình luận và phê bình đã thiết kế, những người bảo vệ cho hầu như bất kỳ một thứ triết thuyết toán học nào cũng đều có thể xê dịch lập trường của mình đủ rộng để đáp ứng mọi phê phán. Nhưng khi kêu gọi sự lưu ý tới những ngụy luận kiểu này, chúng ta không nên rơi vào cực đoan đối lập là chỉ đánh giá các triết thuyết toán học qua những thất bại và thiếu sót của chúng. Chúng tôi đề nghị hãy đánh giá mỗi triết thuyết qua cái khả năng phân tích toàn bộ lĩnh vực thực tế của toán học ở nó, và qua cái mức độ mà nó có thể được công thức hóa thành hệ thống một cách chính xác và nhất quán nhất về nội bộ. Đây là một thử thách; nó đòi hỏi từ các luận thuyết đối lập một giải trình rõ ràng hơn là những gì mà những người từng trình bày chúng đã cung cấp, một thách thức mà chưa cái nào trong ba luận thuyết triết học được xem xét ở đây đã thỏa mãn với thắng lợi.

Max Black,
Bản Chất Của Toán Học
(The Nature of Mathematics,
Totowa, N. J. : Littlefield, Adams & Co., 1965).

^[1] Xem thêm các bài về cùng chủ đề trên trang mục này khi có thể tham khảo, như: John David Barrow, Bản Chất Của Toán Học chẳng hạn

^[2] Cũng có thể được dịch là:  Duy Lô-gic Luận (do quan điểm muốn quy giản toàn bộ toán học vào lô-gic học), Duy Hình Thức Luận (như phiên bản toán học của chủ nghĩa hình thức* trong các lĩnh vực nhận thức và hoạt động nói chung – văn học, tư pháp, đạo lý, hành động, v. v…), và Duy Trực Giác Luận (do các đòi hỏi lý thuyết của trường phái).

^[3] Xem thêm về thuật từ term trên trang mục này, trong chú thích thứ 5 của bài: Antoine Arnauld và Pierre Nicole, Bốn Hoạt Động Của Trí Tuệ.

^[4] Định nghĩa 1: số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Định nghĩa 2: số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Có vô số số nguyên tố. Nói cách khác, dãy các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13,... không bao giờ kết thúc.

^[5] Xem thêm về luận thuyết kiến tạo trên trang mục này trong bài của John David Barrow, Bản Chất Của Toán Học, đoạn 4b.

^[6] Thuật từ toán học được Georg Cantor đề xuất năm 1895 khi ông đưa ra một thứ cấp bậc số vô hạn trong nỗ lực xây dựng lý thuyết tập hợp. Số siêu hạn là «vô hạn» theo nghĩa là chúng lớn hơn mọi số hữu hạn, nhưng không nhất thiết có nghĩa là vô hạn một cách tuyệt đối. Trong số siêu hạn cũng có sự phân biệt: bản số siêu hạn (transfinite cardinal), được dùng để mô tả độ lớn của một tập hợp vô hạn; và tự số siêu hạn (transfinite ordinal) được dùng để cung cấp một thứ tự sắp xếp bên trong một tập hợp vô hạn.  Sự tồn tại của chúng được bảo đảm bởi tiên đề về số vô hạn (axiom of infinity). Xem thêm về chủ đề này trong các chuyên luận về toán học.