Có một lô quan điểm triết học về bản chất tri ​​thức và sự tiếp thu tri ​​thức nói chung, và tri ​​thức toán học nói riêng[2]. Hãy xem xét bốn quan điểm phổ biến nhất. Trước tiên là chủ nghĩa kinh nghiệm, theo đó mọi tri ​​thức của chúng ta đều là những thu nhận từ kinh nghiệm; đối với những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm, không có những chân lý tất yếu...

Trong trích đoạn dưới đây, Henri Poincaré đã đề cập chính xác tới một lý thuyết về suy luận toán học, theo đó, khi chúng ta nghiên cứu tư tưởng toán học «nơi nó vẫn còn là toán học thuần túy, nghĩa là trong số học», thì chúng ta sẽ thấy, «ở mỗi bước chân», một phương thức nhất quán, và đấy là một phép quy nạp thực sự...

Sự thành công của phương pháp khoa học đã khiến giới triết gia mơ tưởng tới một thứ triết lý mang tính khoa học, và có triển vọng một ngày nào đó đạt được mức độ chắc chắn, cũng như những thành tựu chồng chất của khoa học...

[…] Lô-gic học truyền thống nói: «Mọi con người đều là phải-chết (mortal = mortel); Sōkratēs là một con người; do đó, Sōkratēs là phải-chết». Trước tiên, rõ ràng điều chúng ta muốn khẳng định là các tiền đề bao hàm kết luận, chứ không phải là cả các tiền đề lẫn kết luận đều đúng trong hiện thực...

Bây giờ, chúng ta được dẫn đến một đặc điểm cơ bản [của lô-gic học đương đại]: sự thay thế những hình thức ngữ pháp bằng các hình thức lô-gic – hay nói chính xác hơn: sự thay thế loại ngữ pháp của ngôn ngữ tự nhiên của ta bằng một thứ ngữ pháp...

Các tiên đề hình học không phải là những phán đoán tổng hợp tiên nghiệm, cũng không phải là những sự kiện thực nghiệm. Chúng là những quy ước; trong số tất cả các quy ước có thể, lựa chọn của chúng ta được hướng dẫn bởi những sự kiện thực nghiệm; nhưng nó vẫn là tự do và chỉ bị giới hạn bởi sự thiết yếu phải tránh mọi mâu thuẫn. Do đó, các định đề có thể vẫn đúng một cách chặt chẽ...

Các công thức số học như: 5 + 7 = 12 và các định luật như luật kết hợp, thường được xác nhận bởi vô số ứng dụng hàng ngày, đến mức có vẻ như là lố bịch khi chúng ta đặt nghi vấn về chúng, và đòi hỏi bằng chứng. Thế nhưng, dường như có ghi ngay trong bản chất của toán học rằng, bất kỳ trong lĩnh vực nào, mỗi khi ta có thể đưa ra một chứng minh, thì nó vẫn tốt hơn là một xác nhận quy nạp...

[...] Từ khi suy ngẫm về các phương thức tiến hành của mình, trí tuệ – như khả năng biểu tượng tổng quát – tự nhận thức bản thân nó là kẻ sáng tạo ra những ý tưởng, thì nó muốn có ý tưởng về mọi vật thể, không chừa một đối tượng nào, ngay cả khi vật thể ấy không liên quan trực tiếp đến hành động thực tiễn2 […] Vì vậy, chúng tôi nói rằng có những thứ mà chỉ duy nhất trí tuệ mới có thể tìm kiếm...

Theo quan điểm của Lô-gic học Port Royal, lô-gic học là một khoa học quy phạm nhằm đưa ra các quy tắc, do đó, thường được xem là trái với Tâm lý học, vốn là một khoa học thực chứng nhằm phát hiện ra các định luật...

Antoine Arnauld và Pierre Nicole đã viết và bổ sung tác phẩm Lô-gic Học Hay Nghệ Thuật Tư Duy (La Logique ou l’Art de pensée) suốt từ 1662 đến 1683. Dưới tên gọi tắt là Lô-gic học Port Royal[3], đây là một quyển sách giáo khoa; nó cho rằng lô-gic học bao gồm những quy tắc nhằm dẫn dắt lý trí ta đạt hiệu quả tốt nhất trong bốn thao tác trí tuệ do thiên nhiên phú bẩm...

Khả năng xây dựng một khoa toán học có năng lực, vừa suy diễn chặt chẽ, vừa thích nghi chính xác vào kinh nghiệm, đã là vấn đề trung tâm của triết lý khoa học từ lâu. Nhưng ngày nay bận tâm này chắc chắn còn trở nên khiêu khích hơn nữa từ quan điểm của nhận thức luận phát sinh...

à nhà lô-gic học xuất thân từ tâm lý học, Jean Piaget phân biệt Lô-gic học đích thực như một thứ toán lô-gic (logistique) mà vai trò là «hình thức hóa dần dần mọi thao tác của lý trí», với triết lý khoa học (nhận thức)...

Isaac Newton đặt ở phần đầu của tập 3 quyển Những Nguyên Lý Toán Học Của Triết Học Tự Nhiên (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica = Mathematical Principles Of Natural Philosophy, xuất bản lần thứ 2 năm 1713...

Auguste Comte, người định nghĩa mục đích của Toán học là nhằm «xác định các đại lượng chưa biết bằng những quan hệ hiện có giữa chúng với các đại lượng đã biết» phân biệt hai phần của Toán học: một phần trừu tượng và là công cụ thuần túy, trong khi phần cụ thể kia thực sự là khoa học tự nhiên...